Tích phân (Lý thuyết + 50 bài tập có lời giải)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

    Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là 

    Ta dùng kí hiệu  để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy .

    Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

    Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = 

2. Tính chất của tích phân

B. Bài tập

Câu 1: Tích phân

Ta chọn đáp án A

Câu 2: Cho hai tích phân:

Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng?

Đặt t = π/2 - x ⇒ dt = -dx Khi x = a thì t = π/2 - a , khi x = π/2 - a thì t = a

Ta có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3:

Đặt: t = 3 - x ⇒ dt = - dx .

Khi x = 0 thì t = 3, khi x = a thì t = 3-a.

Vậy chọn đáp án B.

Câu 4: Tính tích phân

A. I = 0     B. I = a²     C. I = -a²    D. I = 2a² .

Ta có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Tính tích phân 

Đặt t = lnx ⇒ dt = (1/x)dx . Khi x = 1 thì t = 0, khi x = 2e thì t = 1+ln2. Ta có:

Vậy chọn đáp án D.

Câu 6: Tính tích phân

Đặt u = x và dv = cos(a - x)dx ,suy ra du = dx và v = -sin(a-x). Do đó

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7:

Khẳng định nào dưới đây là sai?

Đặt u = x² - 1 , ta có du = 2xdx. Khi x = 1 thì u = 0, x = 2 thì u = 3. Do đó

Vậy chọn đáp án C.

Câu 8:

Tìm n?

A.6     B.5    C.4     D.3

Ta có:

Vậy chọn đáp án D.

Câu 9: Kết quả của tích phân

được viết dưới dạng a+bln2. Tính giá trị của a+b.

Ta có:

Vậy chọn đáp án D

Câu 10: Giả sử

Giá trị của K là:

A.9     B.3    C.81    D.8

Ta có:

Do đó, K = 3

Câu 11: Cho:

Tính giá trị của a-b.

A.3     B.1    C.2    D.0.

Khi x = 1 thì t = e, khi x = e thì t = e^e + 1 .

Từ đó suy ra: a = 1; b = 1 nên a – b = 0.

Câu 12: Cho

Giả sử đặt t = ∛e^x + 2 thì ta được:

 ⇒(t - 2)³ = e^x

Đổi cận: x = 0 thì t = 3 ; x = 3ln2 thì t = 4

Khi đó

Câu 13: Cho

Khi đó a+b bằng

A.10+ √7    B.22   C. √7 + 6     D.Đáp án khác.

Ta có

Câu 14: Cho

Đặt t = x² . Biết

Đặt t = x² ⇒ dt = 2xdx. Ta có:

Câu 15: Nếu

với a < d < b thì

A.-2    B.3     C.8     D.0

Ta có:

Câu 16: Cho tích phân

Nếu biến đổi số t = sin²x thì:

Ta có

Câu 17: Biết

Phát biểu nào sau đây nhận giá trị đúng?

Ta có

Câu 18:

A. Không xác định được     B.1

C.3     D.-1

Bài 19: Tích phân  bằng

A. L = π        B. L = -π        C. L = -2        D. L = 0

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 20: Tích phân  bằng

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 21: Tích phân  bằng

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 22: Tích phân  bằng

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 23: Tích phân  có giá trị là

A. e+2        B. 2-e        C. e-2        D. e

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 24: Tích phân  là

A. 3ln3        B. 2ln2        C. 3ln3-2        D. 2-3ln3

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 25: Tìm a > 0 sao cho 

A. 4        B. 1/4        C. 1/2        D. 2

Đáp án : D

Giải thích :

Bài 26: Giá trị của tích phân 

Đáp án : B

Giải thích :

Bài 27: Tích phân  bằng

A. π²-4        B. π²+4        C. 2π²-3        D. 2π²+3

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 28: Tính tích phân 

A. I=e²-1        B. I=e²        C. I=e²+1        D. I=e²-2

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 29: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 30: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 31: Tính tích phân sau

Đáp án :

Giải thích :

Bài 32: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 33: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 34: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 35: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 36: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 37: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 38: Tính tích phân

Đáp án :

Giải thích :

Bài 39: Tính các tính phân sau:

a)I =  .

A. 1    B. 1/6     C. 2/9    D. 3/8

b)I =  .

A. 1 - ln5     B. 1 + ln3     C. 2 - ln4    D. 1 - ln2

a)

Đáp án: D

b)

Đáp án: D

Bài 40: Tính tích phân I =  |x - 1|dx ta được kết quả :

A.1     B.2     C.3     D.4

Cho x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn)

Ta có bảng xét dấu :

Khi đó :

I = - (x - 1)dx +  (x - 1)dx =  = 1

Đáp án: A

Bài 41: Tính tích phân I =  |x² - 1|dx ta được kết quả :

A. 4     B. 3     C. 9     D. 9/2

Cho x² - 1 = 0 ⇔ x =  1 ( thỏa mãn)

Bảng xét dấu của x² - 1 trên đoạn [-2;2]

I =  |x² - 1|dx =  (x² - 1)dx +  (1 - x²)dx +  (x² - 1)dx

=  = 4

Đáp án: A

Bài 42: Tính các tích phân sau.

a) I = 

A. 3 + 6ln3     B. 3ln2 - ln3    C. 6 - 2ln3    D. 3 + 6ln2 - 3ln3

b) I = 

A. 0     B. 1    C. ln3 + ln4    D. ln3 - ln4

a)Ta có

I =  =  = (2x + 3.ln(x + 3)) = 3 + 6.ln2 - 3.ln3

Đáp án: D

b)Ta có

I =  =  = ln|4 - x²| = ln3 - ln4

Đáp án: D

Bài 43: Tính các tích phân sau

a/  (x³ - 1)dx

A.1     B: -1/2     C. -3/4     D. Tất cả sai

b/ 

A.5     B.5,5     C. 6     D.6,5

a) (x³ - 1)dx =  x³dx -  xdx = ( - x) = -3/4

Đáp án: C

b) =  (x + 4)dx = ( + 4x) = (2 + 8) - ( + 4) = 5,5

Đáp án: B

Bài 44: Tính tích phân sau A = 

A. -1/3    B. 2    C. 1/3     D: đáp án khác

Đặt t = 1 + x² ⇒ dt = 2xdx ; Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 1; Khi x = 1 ⇒ t = 2

⇒ A =   √t.dt =  =  (2√2 - 1 )

Đáp án: D

Bài 45: Tính tích phân sau B =  x³(x⁴ - 1)⁵dx

A. -1/12    B. -1/6    C. -1/24     D.-1

Đặt t = x⁴ - 1 ⇒ dt = 4x³dx ;

Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = -1; x = 1 ⇒ t = 0

⇒ B = 

Đáp án: C

Bài 46: Tính tích phân sau C = 

A.1    B. 2    C. ln(e-1)    D. ln(e+1)

Đặt t = e^x - 1 ⇒ dt = e^xdx

Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ t = e – 1;Khi x = 2 ⇒ t = e² - 1

⇒ C =  = ln(e² - 1) - ln(e - 1) =  = ln(e + 1)

Đáp án: D

Bài 47: Tính tích phân sau D = 

A. 1    B. 2     C. 3     D. Tất cả sai

Đặt t = 4 - x² ⇒ dt = -2xdx ⇒ xdx = - dt

Khi x = 0 ⇒ t = 4 ; x = 2 ⇒ t = 0

⇒ D = 

Đáp án: D

Bài 48: Tính tích phân I =  |x² - 3x + 2|dx ta được kết quả :

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

Cho x² - 3x + 2 = 0 ⇔  ( thỏa mãn)

Bảng xét dấu của x² - 3x + 2 trên đoạn [0;2]

Khi đó :

I =  (x² - 3x + 2)dx -  (x² - 3x + 2)dx

=  = 1

Đáp án: D

Bài 49: Tính tích phân sau E = 

A. 2(e² -e)    B. e    C. e²+e    D. 2e²-1

Đặt t = √x ⇒ dt =  dx ⇒  = 2dt

Khi x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 4 ⇒ t = 2 ; ⇒ E =  2.e^tdt = 2.e^t = 2(e² -e)

Đáp án: A

Bài 50: Tính tích phân sau F = 

A. 1    B. ln2    C. ln3    D. 2

Đặt t = sin²x ⇒ dt = 2.sinx.cosxdx = sin2xdx

Khi x = 0 ⇒ sin²0 = 0 ⇒ t = 0; x =  ⇒  = 1 ⇒ t = 1

⇒ F =  = ln|1 + t| = ln2 - ln1 = ln2

Đáp án: B