Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Đường tiệm cận gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Đường tiệm cận: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$\hspace{0.17em}(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0\hspace{0.17em}$

II. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

A. m > 0    

B. m ≥ 1    

C. m > 1    

D. Không có giá trị nào của m

Lời giải:

Ta có

Vậy với m > 1 thì đồ thị hàm số  có hai tiệm cận ngang là 

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho các mệnh đề sau

(1) Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(2) Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(3) Đường thẳng x = x₀ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

(4) Đường thẳng x = x₀ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề đúng là:

A.1    

B. 2    

C. 3    

D. 4

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = -1

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận ngang

A.Không tồn tại    

B. m < 0    

C. m = 0    

D. m > 0

Lời giải:

Ta có:

Để hàm số có hai tiệm cận ngang thì m > 0.

Bài 5: Cho hàm số

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3 và y = -1

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 3 và x = -1

Lời giải:

Hàm số có đúng một tiệm cận ngang y=3.

Bài 6: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu tiệm cận?

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. 3

Lời giải:

Vì x ≥ -3 và x ≠ -1, nên ta chỉ xét trường hợp x → +∞

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận

Bài 7: Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?

Lời giải:

Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số  nhận đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng

Bài 8: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A.y = 1    

B. y = 0    

C. y = -1    

D. Không tồn tại

Lời giải:

Ta có:

=> y= -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Bài 9: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là

A. x = 0    

B. x = 2, x = -2    

C. x - 2 = 0    

D. x + 2 = 0

Lời giải:

Ta có

Do đó x - 2 = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 10: Cho hàm số

Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?

A. y = x   

B. x² + y² = 1    

C. y = x²    

D. y = x³

Lời giải:

Với m > 1 thì hàm số đã cho không bị suy biến.

y = m là tiệm cận ngang, x = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy giao điểm hai tiệm cận là I(m;m).

Ta có: y₁ = x₁ nên điểm I thuộc đường thẳng có phương trình y = x.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 5_{}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=-\infty ;$$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=+\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 5.

b) Ta có: x² – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)

Khi đó:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\\ \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \underset{x\to 1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \hspace{0.17em}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\end{array}$

Suy ra: đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1.

c) Ta có:

$$\begin{gathered} y=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2} \\ =\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}=\frac{1}{x+1} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=+\infty ;\\ \underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{1}{x+1}=-\infty ;\end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là x = – 1.

Bài 3. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x+1}{x^2-\text{x}-6}$ có bao nhiêu tiệm cận?

Lời giải:

 

Nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 3 và x = – 2.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận (gồm 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang).

Bài 4 Đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x nên đồ thị hàm số không có TCĐ.

Lại có:

Do đó, đồ thị hàm số không có TCN.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

Bài 5: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra, y = 1; y = -1 là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Bài 6: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y= 2; y = -2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số

có ba đường tiệm cận

Lời giải:

Nên đồ thị hàm số có 1 cận ngang là y= 0

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận khi đồ thị hàm số có 2 TCĐ

⇒ phương trình x² - 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Bài 8: Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra x = 1 và là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Bài 9: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Lời giải:

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 . Chọn đáp án B.

Bài 10: Cho hàm số

có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các

mệnh đề sau:

A. Đường y = 2 là một tiệm cận ngang của (C).

B. Đường y = 1 là một tiệm cận ngang của (C).

C. Đường x = - 2 là một tiệm cận đứng của (C).

D. Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).

Lời giải:

Ta có

=> y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> y = 3 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Bài 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

Bài 3 Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận ngang

Bài 4 Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu tiệm cận?

Bài 5 Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?

Bài 6 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài 7 Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là

Bài 8 Cho hàm số

Bài 9 Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?

Bài 10 Đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?