Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Lũy thừa gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Lũy thừa: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:

$A\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}.8+4^{-2}.2^4$$+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.\frac{1}{27}$

Lời giải:

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n $(n\ge 2)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ  = b.

Ví dụ 2. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b; ta có:

Với n lẻ và b$\in R$: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$; còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$;

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$

$$\begin{gathered} \text{\hspace{0.17em}=}\sqrt[3]{9.(-3)} \\ =\sqrt[3]{-27}=-3 \end{gathered}$$

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$

$\hspace{0.17em}=\left|-5\right|=5$

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$; trong đó $m\in \mathbb{Z};$$\hspace{0.17em}n\in \mathbb{N};n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Ví dụ 4.

$\begin{array}{l}{27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3.\\ 9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^3}=27\end{array}$

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số tương ứng $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

– Ta gọi giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là a^α.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: $1^{\alpha }=1;(\alpha \in ℝ)$

II. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha .\beta }\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha }\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}\end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}$ với a > 0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

$$\begin{gathered} A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}} \\ =\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4-\sqrt{5}}\text{}}{a^{(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)}} \\ =\frac{a^6}{a^2}=a^4 \end{gathered}$$

Ví dụ 6. So sánh các số ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$ và ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3}+1>2$ và $0<\frac{2}{3}<1$

Suy ra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$< ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Biểu thức  bằng biểu thức nào dưới đây?

A. a-2 + b-2    

B. a-2 - b-2    

C. a² + b²    

D. a-6 - b-6

Lời giải:

Bài 2: Cho a và b là 2 số dương thỏa mãn đồng thời ab = ba và b=9a. Tìm a.

Lời giải:

Bài 3: Biết (a + a-1)² = 3. Tính giá trị của a³ + a-3 .

A.0   

B. 1    

C. 2   

D. 3.

Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ta có

Mặt khác

=> a³ + a-3 .Chọn đáp án A.

Bài 4: Biết rằng x = 1 + 2t và y = 1 + 2-t . Hãy biểu diễn y theo x.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có x - 1 = 2t

Bài 5: Biểu thức 2222 có giá trị bằng

A. 28   

B. 216    

C. 162    

D. 44

Lời giải:

Bài 6:

A. $\sqrt{2}$    

B. -$\sqrt{2}$    

C. $\frac{1}{16}$   

D. 16.

Lời giải:

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức

Lời giải:

Bài 8: Giá trị của biểu thức nào sau đây bằng 0,0000000375?

Lời giải:

Bài 9: Tính giá trị biểu thức 2560,16.2560,09

A.4   

B. 16   

C. 64   

D. 256,25.

Lời giải:

Bài 10: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

Lời giải:

Bài 2: Rút gọn biểu thức

viết kết quả sao cho các lũy thừa đều dương

Lời giải:

Bài 3: Nếu x > y > 0 thì

Lời giải:

Bài 4: Với x ≥ 0 thì  bằng

Lời giải:

Bài 5: Biểu thức a³ + a-3 bằng

Lời giải:

 

Bài 6: Nếu 21998 - 21997 - 21996 + 21995 = k.21995 thì giá trị của k là?

Lời giải:

21998 - 21997 - 21996 + 21995 = 21995(23 - 22 - 2 + 1)

= 3.21995 = k.21995 => k = 3

Bài 7: Cho a,b,x là các số dương thỏa mãn (2a)2b = ab.xb . Khi đó x bằng

Lời giải:

(2a)2b = ab.xb ⇔ [(2a)² ]b = (a.x>b)

⇒(4a²)b = (ax)b ⇒ 4a² = ax ⇒ x = 4a

Bài 8: Trong phòng thí nghiệm, khối lượng của 50 giọt máu cân được là 0,532 gam. Biết rằng khối lượng riêng của máu là 1060kg/m3 và các giọt máu đều là hình cầu có khối lượng bằng nhau.Tính đường kính của giọt máu.

Lời giải:

Bài 9: Tính số nguyên n lớn nhất thỏa mãn n200 < 5300 .

Lời giải:

Ta tìm n trong các số nguyên dương. Khi đó

n200 < 5300 <=> (n²)100 < (53)100 <=> n² < 53 = 125 <=> n < $\sqrt{125}$ ≈ 11,18

Ta thấy số nguyên dương n lớn nhất thỏa mãn là n = 11

Bài 10: Giả sử a là số thỏa mãn a + a-1 = 4 .Tính giá trị của biểu thức a⁴ + a-4.

Lời giải:

a + a-1 = 4 ⇔ 16 = (a + a-1)² = a² + 2 + a-2 ⇒ 14 = a² + a-2

=> 196 = (a² + a-2)² = a⁴ + 2 + a-4 => a⁴ + a-4 = 194

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho  Giữa x và y có hệ thức nào sau đây?

Bài 2 Rút gọn biểu thức 

Bài 3 Rút gọn biểu thức:

Bài 4 Biểu thức (x^-1 + y^-1)^-1 bằng?

Bài 5 Nếu 10^2y = 25 thì 10^-y bằng?

Bài 6 Rút gọn biểu thức P = 2³.a³b².(2a^-1b²)^-2

^{Bài 7}

Bài 8 Tính (1,5)⁴; ($\frac{\left(-2\right)}{3}$)³; ($\sqrt{3}$)⁵.

Bài 9 Dựa vào đồ thị của các hàm số y = x³ và y = x⁴ (H.26, H.27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình x³ = b và x⁴ = b.

Bài 10 Chứng minh tính chất n$\sqrt{a}$ . n$\sqrt{b}$ = n$\sqrt{ab}$.