Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Hàm số lũy thừa gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Hàm số lũy thừa: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Khái niệm

– Hàm số y = $x^{\alpha }$, với $\alpha \in ℝ$, được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ 1. Các hàm số $y=x^{\sqrt{3}+\text{}1};$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}y=\frac{1}{x^2};y=x^5$;$\hspace{0.17em}y=x^{\pi -3}$là những hàm số lũy thừa.

– Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là R.

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là R\{0}.

+ Với α không nguyên, tập xác định là $(0;+\infty )$.

II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

– Hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }(\alpha \in ℝ)$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left(x^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}$.

– Ví dụ 2.

a) ${\left(x^{\frac{2}{5}}\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{5}.x^{\frac{-3}{5}}$

b) ${\left(x^{\sqrt{7}}\right)}^{\text{'}}=\sqrt{7}.x^{\sqrt{7}-1}$

– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

$\left(u^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .u^{\alpha -1}.u\text{'}$

– Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $y={(2x^2+3x-2)}^{\frac{1}{3}}$

Lời giải:

III. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x^α

Tập xác định của hàm số lũy thừa  luôn chứa khoảng $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ với $a\in R$. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y=x^{\alpha }$ trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm (1; 1).

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{\frac{-2}{5}}$.

Lời giải:

1. Tập xác định: $D=\left(0;+\text{}\infty \right)$

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên $y\text{'}=\frac{-2}{5}{x}^{\frac{-7}{5}}$

Ta có: y’ < 0 trên khoảng $D=\left(0;+\text{}\infty \right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\infty }{\lim }y=0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

A. x=4 và x = $\frac{8}{7}$ .   

B. x=4.   

C. x=2.    

D. x=2 và x = $\frac{4}{9}$.

Lời giải:

Ta thấy y’ đổi dấu khi đi qua 2 điểm x=4 và x = $\frac{8}{7}$ nên đây là 2 điểm cực trị của các hàm số đã cho.

Chọn đáp án A.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

A. max y = 2$\sqrt{2}$ , min y = $\sqrt[4]{2}$ .   

B.max y=2, min y=0.

C. max y = 2$\sqrt{2}$ , min y=0   

D.max y=2, min y= $\sqrt[4]{2}$ .

Lời giải:

Bài 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?

Lời giải:

Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Bài 5: Số nào sau đây là lớn hơn 1?

Lời giải:

Bài 6: Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:

A. d,c,a,b.   

B.d,c,b,a.   

C. c,d,b,a.   

D.c,a,b,d.

Lời giải:

Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 8: Cho α là một số thực và hàm số  đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng

A. α < 1    

B. 0 < α < $\frac{1}{2}$   

C. $\frac{1}{2}$ < α < 1   

D. α > 1

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi

Bài 9: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

A. b,c,d,a    

B. a,b,c,d    

C.c,d,a,b.   

D. d,b,c,a.

Lời giải:

Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 6:

Do 12 < 18 < 24 < 54 nên d < b < c < a các số theo thứ tự tăng dần là d,b,c,a.

Bài 10: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa

Bài 2: Đồ thị hàm số y = $x^{\frac{1}{4}}$ cắt đường thẳng y=2x tại một điểm nằm bên phải trục tung. Tìm tọa độ điểm này.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

Bài 3: Đường thẳng x = α ( α là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số

lần lượt tại hai điểm A và B. Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra f(α) < g(α)

Nhận xét. Ở đây ta sử dụng tính chất:

Nếu a > 1 thì aα > aβ <=> α > β ;

Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ <=> α < β .

Học sinh có thể không áp dụng tính chất trên mà giải tiếp:

Bài 4: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (0;2).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞) .

C. Hàm số đồng biến trên (2; +∞) .

D. Hàm số không có điểm cực trị nào.

Lời giải:

Ta có

Ta thấy y'(x) < 0 <=> x > 2 nên hàm số nghịch biến trên (2; +∞) , và do đó, hàm số nghịch biến trên (5; +∞) .

Bài 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=x^{\frac{3}{4} }- 2x^{\frac{1}{4}}, x>0$

Lời giải:

 

y’ đổi dấu khi qua điểm x = $\frac{4}{9}$ nên hàm số có một điểm cực trị là x = $\frac{4}{9}$ .

Bài 6: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y'= 0 <=> x² + x - 2 = 0 <=> x = -2 (loại) hoặc x = 1

y' đổi dấu khi đi qua điểm x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị là x = 1

Bài 7: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

y’ đổi dấu khi đi qua điểm x = $\frac{3}{2}$ nên hàm số có một điểm cực trị là x = $\frac{3}{2}$

Bài 8: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

Lời giải:

Tập xác định D = [0; 1]

Ta có:

y(0) = y(1) = 1; y($\frac{1}{2}$) = $\sqrt[4]{8}$. Từ đó max y = y($\frac{1}{2}$) = $\sqrt[4]{8}$, min y = y(0) = 1

Bài 9: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = $x^{\frac{2}{3}}$(20 - x) trên đoạn [1; 10]

Lời giải:

y' = 0 <=> x = 8

Ta có: y(1) = 19, y(8) = 48, y(10) = $\frac{105}{3}$ ≈ 46,6 > 19

Từ đó:

Bài 10: Với là một số thực dương và hàm số

nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Hàm số

nghịch biến trên (0; +∞) nên $\sqrt[4]{\alpha }$ - 2α < 0

III. Bài tập vận dụng

Bài 1

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = $\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}$, x > 0

Bài 3 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = $x^2$, y = $x^{\frac{1}{2}}$, y = $x^{-1}$.

Bài 4 Tìm tập xác định của các hàm số:

Bài 5 Tính đạo hàm của các hàm số:

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Bài 7 Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)^2,7;

b) (0,2)^0,3;

c) (0,7)^3,2;

d) ($\sqrt{3}$)^0,4

Bài 8 Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) $y=(1-x{)}^{-\frac{1}{3}}$

b) $y=(2-x^2{)}^{\frac{3}{5}}$

c) $y=(x^2-1{)}^{-2}$

d) $y=(x^2-x-2{)}^{\sqrt{2}}$

Bài 9 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = $x^2$, y = $x^{\frac{1}{2}}$, y = $x^{-1}$.

Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y=x^{\frac{4}{3}}$

b) $y=x^{-3}$