Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Lôgarit gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Lôgarit: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}$$=3^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)$$={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

$$\begin{gathered} {\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3} \\ ={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{2}4=2 \end{gathered}$$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$$\begin{gathered} \log {}_{5}75-{\log }_{5}3 \\ ={\log }_5\frac{75}{3} \\ ={\log }_{5}25=2 \end{gathered}$$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log {}_7{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{....}{\log }_{7}8$

Lời giải:

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

A. -2    

B. 2    

C. -3log_a5    

D. 3log_a5

Lời giải:

Bài 2: 10log7 bằng:

A. 1   

B. log₇10   

C. 7   

D. log7

Lời giải:

Bài 3: Cho P = log3(a²b³) (a,b là các số dương). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. P = 6log3a.log3b   

B. P = 2log3a + 3log3b

C. P = ($\frac{1}{2}$)log3a + ($\frac{1}{3}$)log3b    

D. P = (log3a)².(log3b)³

Lời giải:

Bài 4: Đặt a = log27, b = log23. Tính log₂($\frac{56}{9}$) theo a và b

A. P = 3 + a - 2b    

B. P = 3 + a - b2   

C. P = $\frac{3a}{2b}$   

D. $\frac{3a}{b^2}$

Lời giải:

Bài 5: Biết y = 23x. Hãy biểu thị x theo y

Lời giải:

Bài 6: Biết 3 + 2log₂x = log₂y . Hãy biểu thị y theo x

A. y = 2x+3    

B. y = 8x²    

C. y = x²+8    

D. y = 3x²

Lời giải:

Bài 7: Nếu x = (log82)log28 thì log3x bằng:

A. -3    

B. -$\frac{1}{3}$  

C. $\frac{1}{3}$    

D. 3

Lời giải:

Bài 8: Độ pH của một chất được xác định bởi công thức pH = -log[H+] trong đó [H+] là nồng độ ion hyđrô trong chất đó tính theo mol/lít (mol/L). Xác định nồng độ ion H+ của một chất biết rằng độ pH của nó là 2,44

A. 1,1.108 mol/L    

C. 3,6.10-3 mol/L

B. 3,2.10-4 mol/L    

D. 3,7.10-3 mol/L

Lời giải:

Bài 9: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

Ta có

P = loga - logb + logb - logc + logc - logd - (loga + logy - logd - logx)

= -logy + logx = log($\frac{x}{y}$)

Chọn đáp án B.

Bài 10: Tính giá trị biểu thức

A. 0,01   

B. 0,1    

C. 1   

D. 10

Lời giải:

Bài 1: Đặt a = log₂3, b = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo a và b

Lời giải:

Bài 2:

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức log₃100 - log₃18 - log₃50

Lời giải:

log₃100 - log₃18 - log₃50

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức (log₂3)(log₉4)

Lời giải: