Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Hàm số mũ. Hàm số logarit: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}$ có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} y\text{'}=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10)\text{'}.\ln 2 \\ =2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-2x+\text{}2)\ln 2 \end{gathered}$$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} \left({\log }_4\right(x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-7\left)\right)\text{'} \\ =\frac{(x^2+2x-7)\text{'}}{(x^2+2x-7)\ln 4} \\ =\frac{2x+2}{(x^2+2x-7)\ln 4} \end{gathered}$$

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1):

(I) Cắt trục hoành

(II) Cắt trục tung

(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?

A. Chỉ có (I), (II) và (III)    

C. Chỉ có (II) và (IV)

B. Chỉ có (II), (III) và (IV)    

D. Chỉ có (I) và (III)

Lời giải:

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số y = log₅(x - 2x²)

A. D = (0; 2)    

B. D = (0; $\frac{1}{2}$)

C. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)    

D. D = (-∞; 0) ∪ ($\frac{1}{2}$; +∞)

Lời giải:

Bài 3: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Điều kiện

Miền xác định là

Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lời giải:

Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?

Lời giải:

Bài 6: Viết các số

theo thứ tự tăng dần

Lời giải:

Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số y = log₅(xe^x)

Lời giải:

Bài 8: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²e-4x

Lời giải:

Bài 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3ln(x +1) + x - $\frac{x^2}{2}$

A.(-1; 2)   

C. (-2 ;-1) và (2; +∞)

B. (2; +∞)   

D. (-∞; -2) và (-1 ;2)

Lời giải:

Bài 10: Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. log_ba < 1 < log_ab   

C. log_ab < 1 < log_ba

B. log_ba < log_ab < 1    

D. 1 < log_ab < log_ba

Lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³e-2x trên đoạn [-1; 4]

Lời giải:

Bài 2: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

Lời giải:

Bài 3: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

Lời giải:

Bài 4: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Bài 5: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

Lời giải:

Bài 6: Cho các hàm số:

(I) y = (0,3)-x   (II) y = (1,3)-2x

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = ax :

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Bài 7: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x² + 1)

Lời giải:

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; $\frac{1}{2}$) và (2; +∞)

Bài 8: Cho hàm số y = x²e-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

Lời giải:

y' = e-x^x(2 - x). Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Bài 9: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = $\frac{3}{2}$ và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = $\frac{3}{2}$; y = 0

Bài 10: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

Lời giải:

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là N(t) = 200.3t

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10 năm theo cách : số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó. Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian loài này có 5000 cá thể. Công thức nào sau đây diễn tả số lượng cá thể (kí hiệu N) của loài theo thời gian t (tính bằng năm, 0 ≤ t ≤ 10 ) ?

Bài 2 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Hỏi sau 3 năm trong tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?

Bài 3 Cho hai số thực a và b, với 0 < a < 1 < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² - 2x + ln(2x + 1) trên [0; 1]

Bài 5 Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?

Bài 6 Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức

Bài 7 Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức

Bài 8 Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e-0,12t (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)

Bài 9 Tìm đạo hàm của hàm số y = x.23x

Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe-2x + 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung