Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương trình mũ và phương trình logarit: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Phương trình mũ

1. Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: a^x = b$\iff$x = log_ab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = a^x và y = b là nghiệm của phương trình a^x = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận:

– Ví dụ 1. Giải phương trình 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

Lời giải:

Ta có: 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

$\iff$2.2^x + 4.2^x = 16

$\iff$6.2^x = 16

$$\begin{gathered} \iff 2^x=\frac{8}{3} \\ \iff x={\log }_2\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Vậy $x={\log }_2\frac{8}{3}$.

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số.

– Ví dụ 2. Giải phương trình $3^{x+\text{\hspace{0.17em}}2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{6-2x}$

Lời giải:

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 3. Giải phương trình 4^x – 5. 2^x  + 6 = 0

Lời giải:

Đặt t = 2^x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t² – 5t + 6 = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}t=2\\ t=3\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}{2}^x=2\Rightarrow x=1\\ 2^x=3\Rightarrow x={\log }_{2}3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log₂3.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ 4. Giải phương trình: $3^x.5^{x^2}=1$

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log₅3.

II. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ 5. Các phương trình ${\log }_{2}x=4;{\log }_3^{2}x+2{\log }_{4}x=0$… đều là phương trình logarit.

1. Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

log_ax = b$\iff$x  = a^b

– Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = log_a x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = log_ax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b$\in R$

Kết luận: Phương trình log_ax  = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b.

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 6. Giải phương trình log₃x + log₉x = 6.

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 7. Giải phương trình ${\log }_5^{2}x+\text{}3{\log }_5^{}x=0$

Lời giải:

Đặt t =log₅x, phương trình đã cho trở thành:

t² + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log₅x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log₅x = –3 nên x = 5^–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5^–3.

c) Mũ hóa

– Ví dụ 8. Giải phương trình: log₃(90 – 3^x) = x + 2

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3^x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3^x = 3^{x + 2} hay 90 – 3^x = 9.3^x

$\iff$10.3^x = 90

$\iff$3^x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giải phương trình 10x = 0,00001

A. x = -log4    

B. x = -log5    

C. x = -4    

D. x = -5

Lời giải:

10x = 0,00001 ⇔ 10x = 10-5 ⇔ x = -5

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

Bài 3: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Lời giải:

Bài 4: Giải phương trình 32x - 3 = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.

A. x ≈ 2,38   

B. x ≈ 2,386    

C. x ≈ 2,384   

D. x ≈ 1,782

Lời giải:

Bài 5: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4x² + 2 - 9.2x² + 2 + 8 = 0

A. 2   

B. 4   

C. 17   

D. 65

Lời giải:

Bài 6: Giải phương trình 4^x + 2^{x + 1} - 15 = 0. Viết nghiệm tìm được dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm

A. x ≈ 0,43    

B. x ≈ 0,63    

C. x ≈ 1,58    

D. x ≈ 2,32

Lời giải:

Bài 7: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   

B. ln3    

C. –ln3    

D. $\frac{1}{\ln 3}$

Lời giải:

Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Bài 8: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 32x² + 2x + 1 - 28.3x² + x + 9 = 0

A. -4    

B. -2    

C. 2    

D. 4

Lời giải:

Ta có: 32x² + 2x + 1 -28.3x² + x + 9 = 0 ⇔ 3.32(x² + x) - 28.3x² + x + 9 = 0

Đặt t = 3x² + x > 0 nhận được phương trình

Với t = $\frac{1}{3}$ = 3-1 được 3x² + x = 3-1 ⇔ x² + x + 1 = 0(vô nghiệm)

Với t = 9 được phương trình 3x² + x = 9 = 32 ⇔ x² + x = 2

x² + x - 2 = 0 ⇔ x -2 hoặc x = 1

Tích của hai nghiệm này bằng -2.

Chọn đáp án B

Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình 2x - 1 = 31 - 2x

Lời giải:

Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log₂3 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được:

(x - 1) = (1 - 2x)log₂3

⇔ x - 1 = log₂3 - 2xlog₂3

⇔ x + 2xlog₂3 = log₂3 + 1

⇔ x(2log₂3 + 1) = log₂3 + 1

Chọn đáp án D

Bài 10: Giải phương trình (x² - 2x)lnx = lnx3

A. x = 1, x = 3    

B. x = -1, x = 3    

C. x = ±1, x = 3    

D. x = 3

Lời giải:

Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

(x² -2x)lnx = 3lnx ⇔ (x² - 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .

Chọn đáp án A.

Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.

Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x² - 2x)lnx = 3lnx ⇔ x² -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Nếu log7(log3(log₂x)) = 0 thì x-$\frac{1}{2}$ bằng :

Lời giải:

log7(log3(log2x)) = 0 ⇔ log3(log2x) = 70 = 1

⇔ log2x = 3t ⇔ x = 23 = 8

Bài 2: Giải phương trình logx = log(x + 3) - log(x - 1)

Lời giải:

Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.

Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.

Bài 3: Giải phương trình log_$\sqrt{2}$(x + 1) = log₂(x² + 2) - 1

Lời giải:

Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với

2log₂(x + 1) = log₂(x² + 2)

Bài 4: Cho biết log_b2x + log_x2b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng?

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.

Bài 5: Cho biết 2x = 8y + 1 và 9y = 3x - 9 . Tính giá trị của x + y

Lời giải:

Vậy x + y =27.

Bài 6: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3x² - 2xy = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y

Lời giải:

Điều kiện x > 0, y > -3.

Ta có: 3x² - 2xy = 1 = 30 ⇔ x² - 2xy = 0

⇔ x(x - 2y) = 0 ⇔ x - 2y = 0 (x > 0) ⇔ x = 2y (1)

2log₃x = log₃( y + 3) ⇔ log₃x² = log₃(y + 3) ⇔ x² = y + 3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Bài 7: Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lời giải:

Trước hết, ta giải phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x - 3) (1)

Điều kiện x > $\frac{3}{14}$. Khi đó (1) <=7gt; log₂8 + log₂x² = log₂(14x - 3)

⇔ 8x² = 14x - 3 ⇔ = 8x² - 14x + 3 = 0

Bài 8: Tính tích các nghiệm của phương trình log_x4 + log₄x = $\frac{17}{4}$

Lời giải:

Điều kiện : x > 0 ; x ≠ 1

Đặt t = log₄x, nhận được phương trình:

 

Tích hai nghiệm : 256.$\sqrt{2}$

Bài 9: Tìm hai số x và y đồng thời thỏa mãn 3^{x + y} = 81 và 81^{x - y} = 3

Lời giải:

 

Bài 10: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy, số cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (tính bằng giờ) bằng công thức

Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt đến 50000 cá thể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ?

Lời giải:

Sau t giờ thì số cá thể vi khuẩn có được là :

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức

Bài 2 Chiều dài (tính bằng xentimet) của một loài cá bơn ở Thái Bình Dương theo tuổi của nó (kí hiệu là t, tính bằng năm) được ước lượng bởi công thức f(t) = 200(1 - 0,956e-0,18t). Một con cá bơn thuộc loài này có chiều dài 140cm. Hãy ước lượng tuổi của nó.

Bài 3 Có một dịch cúm trong một khu vực quân đội và số người lính ở đó mắc bệnh cúm sau t ngày (kể từ ngày dịch cúm bùng phát) được ước lượng bằng công thức

Bài 4 Nếu log(log(log(logx))) = 0 thì x = 10k . Tìm giá trị của k

Bài 5 Giải phương trình log₃x = (-2 + log₂100)(log₃$\sqrt{2}$)

Bài 6 Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 7x + 2.71 - x - 9 = 0.

Bài 7 Tìm nghiệm của phương trình 41 - x = 32x + 1

Bài 8 Giải phương trình log₅(x + 4) = 3

Bài 9 Giải phương trình x²lnx = ln_x9

Bài 10 Giải phương trình log₄(log₃(log₂x)) = 0