Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b; a^x\le b$) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là  vì a^x > 0$\ge b;\forall x\in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125$\iff$x > log₅125$\iff$x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>27$$\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27$$\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_ax < 0; ${\log }_{a}x\le 0;$$\hspace{0.17em}{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<3$$\hspace{0.17em}\iff x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+\text{}2x)>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giải bất phương trình

A. x < -6 hoặc x > 2    

C. x < -2 hoặc x > 6

B. -6 < x < 2    

D. -2 < x < 6

Lời giải:

Bài 2: Giải bất phương trình 2.4x + 1 < 162x

A. x > 1    

B. x < 1   

C. x > $\frac{1}{2}$    

D. x < $\frac{1}{2}$

Lời giải:

Bài 3: Giải bất phương trình 2x.3x ≤ 36

A. x ≤ 2    

B. x ≤ 3    

C. x ≤ 6    

D. x ≤ 4

Lời giải:

Bài 4: Giải bất phương trình 7.3x + 1 + 5x + 3 ≤ 3x + 4 + 5x + 2

A. x ≤ -1   

B. x ≥ -1    

C. x ≤ 0    

D. x ≥ 0

Lời giải:

Bài 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (-1; 1)   

C. (-∞; -1) ∪ (-1; 1)

B. (-1; -1) ∪ (1; +∞)    

D. (-∞; -2) ∪ (1; +∞)

Lời giải:

Bài 6: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (-∞; -1) ∪ (7; +∞)   

B. (-1; 7)

C. (7; +∞)

D. (-7; 1)

Lời giải:

⇔ 6x + 10 - x² > 3 ⇔ x² - 6x - 7 < 0 ⇔ -1 < x < 7.

Chọn đáp án C

Bài 7: Giải bất phương trình

Lời giải:

Lời giải:

Lấy lôgarit theo cơ số 3 hai vế của bất phương trình , ta được :

Chọn đáp án D.

Bài 9: Giải bất phương trình 2016^x + 2016^{1 - x} ≤ 2017

A. 1 ≤ x ≤ 2016   

C. x ≤ 1 hoặc x ≥ 2016

B. 0 ≤ x ≤ 1    

D. x ≤ 0 hoặc x ≥ 1

Lời giải:

Bài 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{5}}$(x² + 4x) ≥ -1

A. ∅    

B. [-5; 1]   

C. (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

D. [-5; -4) ∪ (0; 1]

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án D.

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log(x - 21) < 2 - logx

Lời giải:

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Hàm số xác định khi

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²lnx

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

y' = 2xlnx + x².$\frac{1}{x}$ = x(2lns + 1).

Ta thấy:

y' > 0 ⇔ x(2lnx + 1) > 0 ⇔ 2lnx + 1 > 0 (vì x > 0)

Từ đó khoảng đồng biến của hàm số là

Bài 4: Một tàu vũ trụ được cung cấp bởi một nguồn điện đồng vị phóng xạ plutoni-238. Công suất đầu ra của nguồn điện này được ước lượng bởi

trong đó t là số năm kể từ khi con tàu hoạt động. Biết rằng để các thiết bị trên tàu hoạt động bình thường, nguồn cần cung cấp công suất tối thiểu là 600W. Hỏi con tàu đủ điện để các thiết bị hoạt động bình thường trong thời gian bao lâu ?

Lời giải:

Bài 5: Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người. Giả sử trong 5 năm tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Hỏi tỉ lệ này có thể nhận giá trị tối đa là bao nhiêu để dân số Việt Nam năm 2020 không vượt quá 96,5 triệu người (làm tròn kết quả đến phần chục nghìn) ?

Lời giải: