Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Nguyên hàm gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Nguyên hàm: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R). 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$

- Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}$là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-5}{{(x-3)}^2}$ trên khoảng $(-\infty ;3)\cup (3;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$

Vì $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{-5}{{(x-3)}^2}=f\left(x\right)$ với $\forall x\in (-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$.

- Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2\sin x$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$.

Lời giải:

Với $x\in \left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\int (3x^2+2\sin x)dx\\ =\int 3x^{2}dx+2\int \sin xdx\\ =x^3+\text{\hspace{0.17em}}2.(-c\text{osx) +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C }\\ = \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{x}^3-2c\text{osx +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C}\end{array}$

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số $y=\sqrt{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

$$\begin{gathered} \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx \\ =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C \\ =\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C \end{gathered}$$

b) Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Ví dụ 6. Tính:

Lời giải:

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Ví dụ 7. Tính $\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$.

Lời giải:

Ta có: $\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}}C$ nên theo hệ quả ta có:

$\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$$\hspace{0.17em}=\frac{{(3x+2)}^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính $\int \sin x.c{\text{os}}^{2}xdx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Lời giải:

Bài 3: Tìm I=∫(3x² - x + 1)exdx

A. I = (3x² - 7x +8)ex + C    

B. I = (3x² - 7x)ex + C

C. I = (3x² - 7x +8) + ex + C    

D. I = (3x² - 7x + 3)ex + C

Lời giải:

Bài 4:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s   

B. 11m/s   

C. 12m/s   

D. 13m/s.

Lời giải:

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Vậy chọn đáp án D.

Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    

B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = ($\frac{1}{4}$).sin(4x + 3) + C   

D. I = 4sin(4x + 3) + C

Lời giải:

Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. $\frac{1}{x}$ + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Lời giải:

Bài 8: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

A. x² + ($\frac{1}{2}$).cos⁡2x    

B. x² + cos2 x    

C. x² - sin2x    

D. x² + cos⁡2x .

Lời giải:

Bài 9: Tìm nguyên hàm của

Lời giải:

Bài 10:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án B.

Ghi chú. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx

Lời giải: