Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Tích phân: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi $x\in \left[a;b\right]$, kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =  –  F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Ta còn dùng kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$ để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx$

Ví dụ 1.

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x+\text{}2)dx$

$$\begin{gathered} \hspace{0.17em}={\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|}_0^2 \\ =6-0=6 \end{gathered}$$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(2+\text{\hspace{0.17em}}\cos x)dx$

$$\begin{gathered} ={\left(2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sin x\right)}_0^{\frac{\pi }{2}} \\ =(\pi +1)-0 \\ =\pi +1 \end{gathered}$$

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy $S\text{\hspace{0.17em}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

II. Tính chất của tích phân.

Ví dụ 2. Tính: $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(3x-4\sin x)dx$.

Lời giải:

- Tính chất 3.

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

Ví dụ 3. Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x\right|dx$.

Lời giải:

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số $x=\phi \left(t\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$ sao cho $\phi \left(\alpha \right)=a;\phi \left(\beta \right)=b$ và $a\le \phi \left(t\right)\le b\forall t\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Khi đó: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$$\hspace{0.17em}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f\left(\phi \left(t\right)\right).\phi \text{'}\left(t\right)dt$

Ví dụ 4.  Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$.

Lời giải:

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và $u\left(x\right)\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với $x\in \left[a;b\right]$ với g(u) liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$

Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{u\left(a\right)}{\overset{u\left(b\right)}{\int }}g\left(u\right)du$

Ví dụ 5. Tính $\underset{0}{\overset{\sqrt{\pi }}{\int }}x.\sin x^{2}dx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right)dx=$${\left.\left[u\left(x\right).v\left(x\right)\right]\right|}_a^b$$-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(x\right).u\text{'}\left(x\right)dx$

Hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=u{v}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Ví dụ 6. Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx.$

Lời giải:

Ví dụ 7. Tính $I=\underset{0}{\overset{e-1}{\int }}x\ln (x+1)dx$.

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tích phân

Lời giải:

Ta chọn đáp án A

Câu 2: Cho hai tích phân:

Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Câu 3:

Lời giải:

Câu 4: Tính tích phân

A. I = 0    

B. I = a2    

C. I = -a2    

D. I = 2a2 .

Lời giải:

Câu 5: Tính tích phân 

Lời giải:

Câu 6: Tính tích phân

Lời giải:

Câu 7:

Khẳng định nào dưới đây là sai?

Lời giải:

Câu 8:

Tìm n?

A.6    

B.5    

C.4    

D.3

Lời giải:

Câu 9: Kết quả của tích phân

được viết dưới dạng a+bln2. Tính giá trị của a+b.

Lời giải:

Câu 10: Giả sử

Giá trị của K là:

A.9    

B.3   

C.81   

D.8

Lời giải:

Câu 1: Cho:

Tính giá trị của a-b.

Lời giải:

Khi x = 1 thì t = e, khi x = e thì t = e^e + 1 .

Từ đó suy ra: a = 1; b = 1 nên a – b = 0.

Câu 2: Cho

Giả sử đặt t = $\sqrt[3]{ex}$ + 2 thì ta được:

Lời giải:

 ⇒(t - 2)³ = ex

Đổi cận: x = 0 thì t = 3 ; x = 3ln2 thì t = 4

Khi đó

Câu 3: Cho

Khi đó a+b bằng

Lời giải:

Câu 4: Cho

Đặt t = x² . Biết

Lời giải:

Câu 5: Nếu

với a < d < b thì

Lời giải:

Câu 6: Cho tích phân

Nếu biến đổi số t = sin2x thì:

Lời giải:

Ta có

Câu 7: Tính

Lời giải:

Ta có

Câu 8:

Lời giải:

Hiển thị đáp án

Bài 9:

Tìm n?

Lời giải:

Ta có:

 

Bài 10: Kết quả của tích phân

được viết dưới dạng a+bln2. Tính giá trị của a+b.

Lời giải:

Ta có:

III. Bài tập vận dụng 

Bài 1 Giả sử Giá trị của K là?

Bài 2  Cho:  Tính giá trị của a-b.

Bài 3 Cho  Giả sử đặt t = ∛e^x + 2 thì ta được?

Bài 4 Cho. Khi đó a+b bằng?

Bài 5 Cho Đặt t = x² . Biết 

Bài 6 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e^2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 7 Cho tích phân . Nếu biến đổi số t = sin²x thì:

Bài 8 Tính tích phân 

Bài 9 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².