Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Số phức gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Số phức: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

1. Số i.

Số i là số thỏa mãn: i² = –1.

2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in R$; i² = –1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; $5-i\sqrt{2};$$\sqrt{3}+\text{}2i$

Ví dụ 2. Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa : Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di  a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải:

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}2x-1=3\\ y-2=4-y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có : $R\subset C$.

 b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt : i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là $-\frac{1}{2}$ và phần ảo là $\frac{1}{2}$ là $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$.

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i.

5. Mô đun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$hay $\left|a+bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy: $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ví dụ 6.

6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\overline{z}=a-bi$.

Ví dụ 7.

Nếu z = – 3 + 5i thì $\overline{z}=-3-5i$.

Nếu z = – 4 + 4i thì $\overline{z}=-4-4i$.

– Nhận xét :

+ Trên  mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và $\overline{z}$ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: $\overline{\overline{z}}=z;\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Môđun của số phức z = -3 + 4i là

A. 5   

B. -3   

C. 4   

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = -3 + 4i

Bài 2: Môđun của số phức z = 2 - $\sqrt{3}$i là

A. $\sqrt{7}$    

B. 2 + $\sqrt{3}$   

C. 2 - $\sqrt{3}$   

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = 2 - $\sqrt{3}$i

Bài 3: Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là

A. M (1; 2)   

B. M (1; -2)   

C. M (-1; 2)   

D. M (-1; -2)

Lời giải:

Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là M(1; -2).

Bài 4: Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau qua

A. Trục tung   

B. Trục hoành   

C. Gốc tọa độ   

D. Điểm I (1; -1)

Lời giải:

Bài 5: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = 2 là

A. Hai đường thẳng   

B. Đường tròn bán kính bằng 2

C. Đường tròn bán kính bằng 4   

D. Hình tròn bán kính bằng 2.

Lời giải:

Bài 6: Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 2i, z2 = 2 + 3i . Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là

A. $\sqrt{26}$  

B. $\sqrt{5}$ + $\sqrt{13}$   

C. $\sqrt{10}$   

D. 10

Lời giải:

Ta có: A(-1;2), B(2,3). Do đó:

Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai.

A. Phần thực của z là: 2.

B. Phần ảo của z là: -2.

C. Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i.

D. Môđun của z là

Lời giải:

Bài 8: Cho số phức z = -1 + 3i. Phần thực, phần ảo của z− là

A. -1 và 3    

B. -1 và -3    

C. 1 và -3    

D. -1 và -3i.

Lời giải:

Bài 9: Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là

A. 2   

B. 10    

C. 14    

D. 2$\sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án B.

Bài 10: Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

A. x = 3, y = 1    

B. x = 3, y = -1

C. x = -3, y = -1    

D. x = -3, y = 1

Lời giải:

Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Bài 1: Hai số phức z₁ = x - 2i, z_²2 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi

Lời giải:

Ta có z₁− = x + 2i. Do đó, hai số phức đã cho gọi là liên hợp của nhau khi và chỉ khi

Vậy x= 2, y = 2. 

Bài 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là

Lời giải:

Ta có |1 + i| = $\sqrt{\left(1+1\right)}$ = $\sqrt{2}$. Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có |z| = OM.

Do đó: |z| = |1 + i| ⇔ OM = $\sqrt{2}$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R= $\sqrt{2}$ .

Bài 3: Phần thực của số phức z = -i là

Lời giải:

Bài 4: Phần ảo của số phức z = -1 là

Lời giải:

Bài 5: Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là

Lời giải:

Bài 6: Cho z = 2i -1. Phần thực và phần ảo của z− là

Lời giải: