Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 12 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương trình bậc hai với hệ số thực: Lý thuyết, cách giải và bài tập hay, chi tiết

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)² = –1.

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là $\pm 4i$ vì ${\left(\pm 4i\right)}^2=-16$

Căn bậc hai của –5 là $\pm \sqrt{5}i$ vì ${\left(\pm \sqrt{5}i\right)}^2=-5$

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left|a\right|}$.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a; b ; c$\in ℝ;a\ne 0$.

Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là $\pm \sqrt{\Delta }$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là $\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}$.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n $(n\ge 1)$:

a₀.xⁿ + a₁.x^{n – 1} + ….+ a_n–1.x + a_n = 0

Trong đó; a₀ ; a₁;…..; a_n$\in ℂ;a_0\ne 0$đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Phương trình z² + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

A. 2 ± i   

B. -2 ± i   

C. 4 ± i   

D. -4 ± i

Lời giải:

Ta có: Δ' = 2² - 1.5 = -1 = i2. Phương trình có hai nghiệm là:

Bài 2: Phương trình z² + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm

A. 1 - i và 1 - 2i    

B. 4 - i và 4 + i

C. -4 - i và -4 + i    

D. -2 + 2i và -2 + 4i

Lời giải:

Bài 3: Phương trình z² - 4z + 9 = 0 có hai nghiệm. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng

A. – 6   

B. 6   

C. 8   

D. 2$\sqrt{3}$

Lời giải:

Bài 4: Phương trình z⁴ + 3z² - 4 = 0 có 4 nghiệm phức z₁, z₂, z₃, z₄. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng

A. 6    

B. 2$\sqrt{2}$   

C. 2 + 2$\sqrt{2}$   

D. 4 + 2${\sqrt{2}}^{}$

Lời giải:

Ta có

⇒ |z₁| = |z₂| = 1; |z₃| = |z₄| = 2

Vậy T = 1 + 1 + 2 + 2 = 6

Bài 5: Số phức z thỏa mãn

Giá trị biểu thức

A. 1    

B. 2   

C. 3    

D. 3672

Lời giải:

Ta có: z + $\frac{1}{z}$ = $\sqrt{3}$ <=> z² - $\sqrt{3}$z + 1 = 0 (1)

Xét phương trình (1): Ta có: Δ = ($\sqrt{3}$)² - 4.1.1 = -1 = i²

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

Do đó

Ta có:

 

Vậy T = 1 + 1 = 2

Bài 6: Phương trình z² -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi

A. a = 2, b = -2    

B. a = 2, b = 2    

C. a = -2, b = 2   

D. a = -2, b = -2

Lời giải:

Bài 7: Phương trình 2z² + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là

Lời giải:

Bài 8: Phương trình z² - z + 1 = 0 có hai nghiệm là

Lời giải:

Bài 9: Để phương trình z² + bz + c = 0 nhận z₁ = -4 + 2i và z₂ = -4 - 2i làm nghiệm thì

A. b = -8, c = 20   

B. b = -8, c = -20

C. b = 8, c = 20    

D. b = 8, c = 20

Lời giải:

Bài 10: Phương trình z² + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z₁, z₂.Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng:

A. 2$\sqrt{15}$   

B. 6   

C. 4$\sqrt{5}$   

D. 2$\sqrt{3}$

Lời giải:

Bài 1: Phương trình z₁ = 1 + 2i, z₂ = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

A. a = 1, b = 4   

B. a = -1, b = 4   

C. a = -1, b = -4    

D. a = 1, b = -4

Lời giải:

Bài 2: Phương trình (1 + i)² = -7 + i có các nghiệm là?

Lời giải: