Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức giải phương trình lôgarit hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Công thức giải phương trình lôgarit, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức giải phương trình lôgarit chi tiết

1. Định nghĩa

- Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ${\log }_{a}x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$

Theo định nghĩa lôgarit ta có: ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$

Minh họa bằng đồ thị

Ta vẽ đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ và đường thẳng $y=b$ trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy: Trong cả hai trường hợp thì đường thẳng $y=b$ luôn cắt nhau tại một điểm với mọi $b\in ℝ$.

Vậy ta có kết luận sau:

Phương trình ${\log }_{a}x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$ luôn có nghiệm duy nhất $x=a^b\forall b$

- Chú ý: Khi giải một phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x

2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

- Áp dụng một số tính chất của lôgarit:

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(x.y\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y \\ {\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y \\ {\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}b \\ {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a} \\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\left(\alpha \ne 0\right) \end{gathered}$$            

VD1. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_{3}x+{\log }_{9}x=6$

b. ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x+{\log }_{8}x=11$

c. $\ln \left(2x^2-x\right)-\ln x=\ln 3$

Lời giải:

a. ${\log }_{3}x+{\log }_{9}x=6$. Điều kiện $x>0$

Phương trình

$$\begin{gathered} \iff {\log }_{3}x+\frac{1}{2}{\log }_{3}x=6 \\ \iff {\log }_{3}x=4\iff x=3^4 \end{gathered}$$

$\iff x=81$(Thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=81$

b. ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x+{\log }_{8}x=11$. Điều kiện $x>0$

Phương trình

$$\begin{gathered} \iff {\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x+\frac{1}{3}{\log }_{2}x=11 \\ \iff \frac{11}{6}{\log }_{2}x=11 \\ \iff {\log }_{2}x=6\iff x=2^6\iff x=64 \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 64

c. $\ln \left(2x^2-x\right)-\ln x=\ln 3$.

Điều kiện $x>\frac{1}{2}$

Phương trình

$$\begin{gathered} \iff \ln \frac{2x^2-x}{x}=\ln 3 \\ \begin{array}{l}\iff \frac{2x^2-x}{x}=3\\ \iff 2x^2-x=3x\\ \iff 2x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.\left(L\right)\\ \iff x=2\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$

b. Đặt ẩn phụ

VD2. Giải các phương trình sau

a. ${\log }_{{}_2}^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$

b. $\frac{1}{3-\log x}+\frac{3}{1+\log x}=2$

c. $1+2{\log }_{x+2}5={\log }_5\left(x+2\right)$

Lời giải:

a.

b.

c. 

c. Mũ hóa.

VD3. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_2\left(5-2^x\right)=2-x$

b. ${\log }_3\left(2-9^x\right)=x$

c. $x^{\log 9}+9^{\log x}=6$

Lời giải:

a.

b.

c.

d. Đánh giá hàm số

VD4. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_{3}x=-x+11$

b. ${\log }_2\left(1+\sqrt{x}\right)={\log }_{3}x$

Lời giải:

a.

b.

${\log }_2\left(1+\sqrt{x}\right)={\log }_{3}x$

Điều kiện x >0

Đặt ${\log }_2\left(1+\sqrt{x}\right)={\log }_{3}x=t$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1+\sqrt{x}=2^t\\ x=3^t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x={\left(2^t-1\right)}^2\\ x=3^t\end{array}\right.$

Ta được phương trình:

3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_3\left(5x+3\right)={\log }_3\left(7x+5\right)$

b. $\log \left(x-1\right)-\log \left(2x-11\right)=\log 2$

c. $\log \left(x^2-6x+7\right)=\log \left(x-3\right)$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. $\frac{1}{2}\log \left(x^2+x-5\right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}$

b. ${\log }_{\sqrt{2}}x+4{\log }_{4}x+{\log }_{8}x=13$

c. ${\log }_4\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]+{\log }_4\frac{x-2}{x+3}=2$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_2\left(2^x+1\right).{\log }_2\left(2^{x+1}+2\right)=2$

b. $x^{3{\log }^{3}x-\frac{2}{3}\log x}=100.\sqrt[3]{10}$

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. ${\log }_{\frac{1}{3}}x=3x$

b. ${\log }_{4}x=\frac{4}{x}$

c. ${16}^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$