Công thức tích phân từng phần chi tiết

Giang Ngày: 07-06-2023 Lớp 12

205

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tích phân từng phần hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Công thức tích phân từng phần, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tích phân từng phần chi tiết

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

$\int_{a}^{b} u (x) v' (x) d x = {[u (x) v (x)]|}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) v (x) d x$ , hay viết gọn là $\int_{a}^{b} u d v = u v |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$ .

Các dạng cơ bản:

Giả sử cần tính $I = \int_{a}^{b} P (x) . Q (x) d x$

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và d v hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân $\int v d u$ dễ tính hơn $\int u d v$ . Ta thường gặp các dạng sau:

Dạng 1. $I = \int P (x) [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] d x$ , trong đó $P (x)$ là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = P (x) \\ d v = [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] d x \end{cases}$

Dạng 2. $I = \int P (x) e^{a x + b} d x$ , trong đó $P (x)$ là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = P (x) \\ d v = e^{a x + b} d x \end{cases}$

Dạng 3. $I = \int P (x) \ln (m x + n) d x$ , trong đó $P (x)$ là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = \ln (m x + n) \\ d v = P (x) d x \end{cases}$

Dạng 4. $I = \int [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] e^{x} d x$ . Ta đặt $\{\begin{cases} u = [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] \\ d v = e^{x} d x \end{cases}$

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có lnx hay log_ax thì chọn u = lnx hay $u = \log_{a} x = \frac{1}{\ln a} . \ln x$ và dv = còn lại. Nếu không có ln ; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….