Mở đầu trang 30 Chuyên đề Toán 11: Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình. Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?

Lời giải:

Đối tượng toán học liên quan đến phép đồng dạng cho phép ta thể hiện các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học này.

HĐ1 trang 30 Chuyên đề Toán 11: Hai tấm ản Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.

a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Nếu lấy hai vị trí A, B bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí A', B' tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa A' và B' gấp mấy lần khoảng cách giữa A và B? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.

Lời giải:

a) Qua đo đạc, ta thấy chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp 2 lần chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Lấy các điểm A, B và A', B' tương ứng như hình vẽ.

Qua đo đạc ta thấy A'B' = 2AB.

Câu hỏi trang 30 Chuyên đề Toán 11: Phép dời hình và phép vị tự tỉ số t có phải là các phép đồng dạng hay không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Lời giải:

+ Phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.

Thật vậy, ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép dời hình. Khi đó M'N' = MN (phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì). Do đó, M', N' là ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số 1.

+ Phép vị tự với tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

Thật vậy, ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}=k\overrightarrow{MN}$. Do đó, M', N' là ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số |k| (|k| > 0).

Luyện tập 1 trang 30 Chuyên đề Toán 11: Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng f với tỉ số k₁ và phép đồng dạng g với tỉ số k_­2 là một phép đồng dạng với tỉ số k₁.k₂.

Lời giải:

Lấy hai điểm M, N bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng dạng f với tỉ số k₁ thì ta có M'N' = k₁MN.

Gọi M", N" tương ứng là ảnh của M', N' qua phép đồng dạng g với tỉ số k₂ thì ta có M"N" = k_2­M'N'.

Khi đó ta có M"N" = k₂ M'N' = k₂ . (k₁MN) = (k₁.k₂)MN.

Do đó, M", N" tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng dạng với tỉ số k₁.k₂.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Luyện tập 2 trang 31 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B. Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB và P là trung điểm của đoạn thẳng BN. Chứng minh rằng P thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải:

Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB nên ta có phép đối xứng trục AB biến điểm M thành điểm N.

Ta có P là trung điểm của BN nên $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, do đó ta có phép vị tự tâm B, tỉ số $\frac{1}{2}$ biến điểm N thành điểm P.

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự $V_{\left(B,\frac{1}{2}\right)}$ biến điểm M thành điểm P.

Mặt khác M thuộc đường thẳng d cố định, A và B cố định, do đó P thuộc đường thẳng d' cố định là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự $V_{\left(B,\frac{1}{2}\right)}$.

Vậy P thuộc một đường thẳng cố định.

Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 11: Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.

Lời giải:

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90° và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình Dinh Thống Nhất nhỏ thành hình Dinh Thống Nhất lớn với O là điểm trên hình vẽ.

Bài tập

Bài 1.24 trang 31 Chuyên đề Toán 11: Một phép đồng dạng biến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC tương ứng thành A', B', C'. Chứng minh rằng

$\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{CA}{C\text{'}A\text{'}}=\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}$.

Lời giải:

Giả sử phép đồng dạng F biến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC tương ứng thành A', B', C'. Khi đó ta có số k khác 0 thỏa mãn: A'B' = kAB, B'C' = kBC, C'A' = kCA.

Suy ra $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{CA}{C\text{'}A\text{'}}=\frac{1}{k}$ (đpcm).

Bài 1.25 trang 31 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(3x; – 3y).

a) Tìm ảnh của các điểm O(0; 0), N(2; 1).

b) Chứng minh rằng f là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

a) Ảnh của điểm O(0; 0) qua phép biến hình f là O'(3 . 0; – 3 . 0) ≡ O(0; 0).

Ảnh của điểm N(2; 1) qua phép biến hình f là N'(3 . 2; – 3 . 1) = N'(6; – 3).

b) Chọn hai điểm M(x; y), N(z; t) bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép biến hình f. Khi đó M'(3x; – 3y), N'(3z; – 3t).

Ta có: MN = $\sqrt{{\left(z-x\right)}^2+{\left(t-y\right)}^2}$

M'N' = $\sqrt{{\left(3z-3x\right)}^2+{\left(-3t-\left(-3y\right)\right)}^2}$ $=\sqrt{9{\left(z-x\right)}^2+9{\left(t-y\right)}^2}$ $=3\sqrt{{\left(z-x\right)}^2+{\left(t-y\right)}^2}$

Suy ra M'N' = 3MN.

Vậy phép biến hình f là phép đồng dạng với tỉ số k = 3.

Bài 1.26 trang 31 Chuyên đề Toán 11: Hai hình ℋ  và ℋ " trong Hình 1.52 được vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Bằng quan sát, hãy chỉ ra một phép đối xứng trục f và một phép vị tự g sao cho phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép f và g (thực hiện f trước, g sau) biến hình ℋ  thành hình ℋ ".

Lời giải:

Quan sát Hình 1.52, ta thấy phép đối xứng trục d: x = – 1 biến hình ℋ  thành hình ℋ '.

Ta thấy A(3; 1) thuộc hình ℋ ' và B(6; 2) thuộc hình ℋ ''.

Ta có $\overrightarrow{OB}=\left(6;2\right)$, $\overrightarrow{OA}=\left(3;1\right)$, suy ra $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$, khi đó phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến điểm A thành điểm B, thực hiện tương tự với các điểm khác, vậy ta có phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình ℋ ' thành hình ℋ ''.

Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục d có phương trình x = – 1 và phép vị tự V_{(O, 2)} (phép đối xứng trục trước, phép vị tự sau) biến hình ℋ  thành hình ℋ ''.

Khi đó, phép đối xứng trục f là phép đối xứng trục d có phương trình x = – 1 và phép vị tự g là phép vị tự V_{(O, 2)} là các phép biến hình cần tìm.