Mở đầu trang 21 Chuyên đề Toán 11: Bằng quan sát, ta có cảm nhận rằng ba hình a), b), c) bằng nhau. Nếu cắt giấy, lấy riêng ra từng hình, thì ta có thể xếp chồng khít hai hình b) và c) với nhau, hãy úp khít hai hình a) và b) (cũng như hai hình a) và c)) vào nhau. Đối tượng toán học nào cho phép ta diễn đạt hai hình bằng nhau? Ta hãy cùng tìm hiểu trong bài học này.

Lời giải:

Đối tượng toán học liên quan đến khái niệm về phép dời hình cho phép ta diễn đạt hai hình bằng nhau. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học này.

HĐ trang 21 Chuyên đề Toán 11: Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong các tính chất sau?

a) Biến một vectơ thành vectơ bằng nó.

b) Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

d) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Lời giải:

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất c) trong các tính chất đã cho:

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

Luyện tập trang 22 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ở Hình 1.34, gọi f là phép biến hình biến mỗi điểm có tọa độ (x; y) thành điểm có tọa độ (– x; y + 3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào đúng.

a) f biến ∆ABC thành ∆DEF.

b) f biến ∆DEF thành ∆MNP.

c) f biến ∆ABC thành ∆MNP.

Lời giải:

Từ Hình 1.34, ta thấy: A(2; 3), B(1; 1), C(3; 1), D(– 2; 3), E(– 1; 1), F(– 3; 1), M(– 2; 6), N(– 1; 4) và P(– 3; 4).

+ Phép biến hình f biến điểm A(2; 3) thành điểm có tọa độ (– 2; 3 + 3) = (– 2; 6) hay chính là điểm M.

Phép biến hình f biến điểm B(1; 1) thành điểm có tọa độ (– 1; 1 + 3) = (– 1; 4) hay chính là điểm N.

Phép biến hình f biến điểm C(3; 1) thành điểm có tọa độ(– 3; 1 + 3) = (– 3; 4) hay chính là điểm P.

Do đó, phép biến hình f biến tam giác ABC thành tam giác MNP nên khẳng định c) đúng và khẳng định a) sai.

+ Phép biến hình f biến điểm D(– 2; 3) thành điểm có tọa độ (– (– 2); 3 + 3) = (2; 6).

Do đó, phép biến hình f không biến tam giác DEF thành tam giác MNP nên khẳng định b) sai.

Vậy trong các khẳng định đã cho, chỉ có khẳng định c) đúng.

Vận dụng trang 23 Chuyên đề Toán 11: Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:

a) Biến Hình a) thành Hình b).

b) Biến Hình b) thành Hình c).

c) Biến Hình a) thành Hình c).

d) Biến Hình c) thành Hình a).

Lời giải:

a) Phép đối xứng trục d biến Hình a) thành Hình b).

b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ biến Hình b) thành Hình c).

c) Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục d và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ (thực hiện phép đối xứng trục d trước, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ sau) ta được một phép dời hình biến Hình a) thành Hình c).

d) Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ và phép đối xứng trục d (thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ trước và phép đối xứng trục d sau) ta được một phép dời hình biến Hình c) thành Hình a).

Bài tập

Bài 1.16 trang 23 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;1\right)$. Những khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

a) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(– x; y).

b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ biến điểm M'(– x; y) thành điểm M''(– x; y + 1).

c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_Oy­ và $T_{\overrightarrow{u}}$ (Đ_Oy trước, $T_{\overrightarrow{u}}$ sau) ta được phép dời hình biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M''(– x; y + 1).

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_Oy và $T_{\overrightarrow{u}}$ biến điểm A(1; 2) thành điểm A''(– 1; 1).

Lời giải:

a) Khẳng định a) đúng.

b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{M\text{'}M"}=\overrightarrow{u}$ biến điểm M' thành điểm M" sao cho $\overrightarrow{M\text{'}M"}=\left(-x-\left(-x\right);y+1-y\right)=\left(0;1\right)=\overrightarrow{u}$.

Do đó, khẳng định b) đúng.

c) Vì a) và b) đúng nên khẳng định c) đúng.

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_Oy và $T_{\overrightarrow{u}}$ biến điểm A(1; 2) thành điểm có tọa độ là (– 1; 2 + 1) = (– 1; 3) ≠ A"(– 1; 1). Vậy khẳng định d) sai.

Bài 1.17 trang 23 Chuyên đề Toán 11: Bằng quuan sát, hãy chỉ ra trong mỗi hình trong Hình 1.37 một phép dời hình biến hình vuông ? thành hình vuông ?', đồng thời biến hình bình hành ℬ thành hình bình hành ℬ'.

Lời giải:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{u}$ biến hình vuông ? thành hình vuông ?', đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.

b) Phép đối xứng trục ∆ biến hình vuông ? thành hình vuông ?', đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.

c) Phép quay tâm O góc – 90° biến hình vuông ? thành hình vuông ?', đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_d và $T_{2\overrightarrow{u}}$ (Đ_d trước, $T_{2\overrightarrow{u}}$ sau) ta được phép dời hình biến hình vuông ? thành hình vuông ?', đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.

Bài 1.18 trang 24 Chuyên đề Toán 11: Cho một mảnh giấy hình thang cân ABCD (AB // CD). Hãy chỉ ra một cách cắt mảnh giấy đó thành hai mảnh giấy bằng nhau.

Lời giải:

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên d cũng là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Khi đó, sử dụng phép đối xứng trục d ta chia hình thang cân ABCD thành 2 hình bằng nhau.

Vậy ta có thể cắt mảnh giấy hình thang cân ABCD theo trục d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta được hai mảnh giấy bằng nhau.

Bài 1.19 trang 24 Chuyên đề Toán 11: Hình 1.38 được vẽ dựa theo bức tranh Kị binh (horsmen) của Escher, gồm các hình bằng nhau mô tả các kị binh trên ngựa.

Bằng quan sát, hãy chỉ ra những khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Có phép tịnh tiến biến mỗi chiến binh thành một chiến binh cùng màu.

b) Có phép đối xứng trục biến mỗi chiến binh thành một chiến binh khác màu.

c) Có phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến biến mỗi kị binh thành một kị binh khác màu.

Lời giải:

Bằng quan sát, ta nhận thấy khẳng định a) đúng.