Mở đầu trang 16 Chuyên đề Toán 11: Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt trong nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

Lời giải:

Cơ sở toán học về khái niệm phép quay cho ta thực hiện điều nêu ở phần mở đầu.

1. Phép quay

HĐ1 trang 16 Chuyên đề Toán 11: Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí người mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?

Lời giải:

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở chính giữa bàn nhưng đặt ở trên phần bàn xoay đều quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở giữa bàn và không đặt ở trên phần bàn xoay thì không quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Câu hỏi trang 16 Chuyên đề Toán 11: Phép quay với góc quay bằng 0 có gì đặc biệt?

Lời giải:

Phép quay tâm O với góc quay bằng 0 biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành chính nó.

Luyện tập 1 trang 17 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều.

Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay Q_{(A, 60°)}

Gọi D là ảnh của C qua phép quay Q_{(A, 60°)}.

Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC?

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên AB = AC và $\widehat{BAC}=60°$. Do đó phép quay Q_{(A, 60°)} biến điểm B thành điểm C.

Vì D là ảnh của C qua phép quay Q_{(A, 60°)} nên AC = AD và $\widehat{CAD}=60°$.

Khi đó tam giác ACD là tam giác đều nên AC = AD = DC.

Mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều).

Do đó, AB = BC = CD = AD, suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.

Khi đó hai đường cheoa AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Vậy B và D đối xứng nhau qua đường thẳng AC hay B là ảnh của D qua phép đối xứng trục AC.

2. Tính chất của phép quay

HĐ2 trang 17 Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay.Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?

Lời giải: Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay.

Luyện tập 2 trang 18 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 1.26, ABCDEF là lục giác đều có tâm O. Tìm ảnh của tam giác ACE qua các phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{3}\right)},Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$.

Lời giải:

Ta có: ABCDEF là lục giác đều nên $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}=60°=\frac{\pi }{3}$ và OA = OB = OC = OD = OE = OF.

Do đó, phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{3}\right)}$ biến các điểm A, C, E tương ứng thành các điểm B, D, F.

Vậy phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{3}\right)}$ biến tam giác ACE thành tam giác BDF.

Ta có: $\widehat{AOE}=\widehat{AOF}+\widehat{EOF}=\frac{2\pi }{3}$, tương tự $\widehat{COA}=\widehat{EOC}=\frac{2\pi }{3}$.

Vì OA = OE và góc quay $-\frac{2\pi }{3}$ nên phép quay $Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$ biến điểm A thành điểm E.

Vì OC = OA và góc quay $-\frac{2\pi }{3}$ nên phép quay $Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$ biến điểm C thành điểm A.

Vì OE = OC và góc quay $-\frac{2\pi }{3}$ nên phép quay $Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$ biến điểm E thành điểm C.

Vậy phép quay $Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$ biến tam giác ACE thành tam giác ECA hay biến tam giác ACE thành chính nó.

Vận dụng 1 trang 18 Chuyên đề Toán 11: Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm O, bán kính R. Hỏi, khi thuwjc hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì:

- Điểm O biến thành điểm nào?

- Đường tròn (O, R) biến thành đường tròn nào?

- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?

Lời giải:

Điểm O là tâm quay nên khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì điểm O biến thành điểm O, đường tròn (O; R) biến thành đường tròn (O; R).

Vậy vị trí của mặt bàn không bị dịch chuyển.

Bài tập

Bài 1.11 trang 20 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 1.31, BAM và CAN là các tam giác vuông cân tại A. Hãy chỉ ra một phép quay biến tam giác ABC thành tam giác AMN.

Lời giải:

Tam giác BAM vuông cân tại A nên AB = AM và $\widehat{BAM}=90°$. Do đó, ta có phép quay Q_{(A, – 90°)} biến điểm A thành điểm A, biến điểm B thành điểm M (1).

Tam giác ACN vuông cân tại A nên AC = AN và $\widehat{CAN}=90°$. Do đó, ta có phép quay Q_{(A, – 90°)} biến điểm C thành điểm N (2).

Từ (1) và (2) suy ra phép quay Q_{(A, – 90°)} biến tam giác ABC thành tam giác AMN.

Bài 1.12 trang 20 Chuyên đề Toán 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là A, B, C, D.

a) Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O góc quay $\frac{\pi }{2}$.

b) Mỗi phép quay Q_{(O, o)}, $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)},Q_{\left(O,\pi \right)},Q_{\left(O,\frac{3\pi }{2}\right)}$ biến hình vuông ABCD thành hình nào?

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O và OA = OB = OC = OD.

Khi đó, phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)}$ biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm B, C, D, A.

b) Phép quay Q_{(O, 0)} biến hình vuông ABCD thành hình vuông ABCD.

Từ câu a, suy ra phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)}$ biến hình vuông ABCD thành hình vuông BCDA.

Phép quay Q_{(O, π)} biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm C, D, A, B. Do đó phép quay Q_{(O, π)} biến hình vuông ABCD thành hình vuông CDAB.

Phép quay $Q_{\left(O,\frac{3\pi }{2}\right)}$ biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm D, A, B, C. Do đó phép quay $Q_{\left(O,\frac{3\pi }{2}\right)}$ biến hình vuông ABCD thành hình vuông DABC.

Bài 1.13 trang 20 Chuyên đề Toán 11: Cho hình bình hành ABCD với tâm O.

a) Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên tâm O là trung điểm các đường chéo AC và BD.

O là trung điểm của AC nên C là ảnh của A qua Đ_O.

O là trung điểm của BD nên D là ảnh của B qua Đ_O.

Do đó, CD là ảnh của đường thẳng AB qua Đ_O.

Lại có A là ảnh của C qua Đ_O. Vậy tam giác CDA là ảnh của tam giác ABC qua Đ_O.

Bài 1.14 trang 20 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)² + y² = 1.

a) Tìm tọa độ tâm đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)}$

b) Viết phương trình (C').

Lời giải:

Ta có (C): (x – 2)² + y² = 1. Suy ra đường tròn (C) có tâm I(2; 0) và bán kính R = 1.

Vì (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)}$ nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{2}\right)}$.

Vì I(2; 0) nên I'(0; 2).

b) Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên bán kính của đường tròn (C') là 1.

Vậy phương trình đường tròn (C') là x² + (y – 2)² = 1.

Bài 1.15 trang 20 Chuyên đề Toán 11: Bằng quan sát Hình 1.32, hãy chỉ ra một cách cắt hình đó thành ba phần giống nhau.

Lời giải:

Ta có thể chia Hình 1.32 thành ba phần giống nhau bằng cách cắt theo đường màu đỏ như hình vẽ trên ( $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}=120°$).

Sử dụng phép quay Q_{(O, 120°)} để thấy rõ các phần giống nhau của hình.