Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức viết phương trình đường tròn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức viết phương trình đường tròn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lý thuyết tổng hợp

- Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R được viết dưới dạng: ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ 

- Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn nếu $a^2+b^2-c>0$.

II. Các công thức

- Cho đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R, phương trình đường tròn là:

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

- Cho đường tròn đi qua ba điểm $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$, phương trình được xác định dưới dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với ba hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2-c>0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{x_1}^2+{y_1}^2-2a{x}_1-2b{y}_1+c=0\\ {x_2}^2+{y_2}^2-2a{x}_2-2b{y}_2+c=0\\ {x_3}^2+{y_3}^2-2a{x}_3-2b{y}_3+c=0\end{array}\right.$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I(2; 3) và bán kính kính R = 5. Viết phương trình đường tròn (C).

Lời giải:

Biết đường tròn (C) tâm I(2; 3) và bán kính kính R = 5, ta có phương trình đường tròn:

${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=5^2$

$\iff {(x-2)}^2+{(y-3)}^2=25$

Bài 2: Cho đường tròn (C) tâm I(-1; 4) và bán kính kính R = 8. Viết phương trình đường tròn (C).

Lời giải:

Biết đường tròn (C) tâm I(-1; 4) và bán kính kính R = 8, ta có phương trình đường tròn:

${(x-\left(-1\right))}^2+{(y-4)}^2=8^2$

$\iff {(x+1)}^2+{(y-4)}^2=64$

Bài 3: Cho đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(6; 3) và C(6; -1). Viết phương trình đường tròn (C).

Lời giải:

Ta có đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(6; 3) và C(6; -1)

$\left\{\begin{array}{l}{1}^2+4^2-\mathrm{2.1.}a-\mathrm{2.4.}b+c=0\\ 6^2+3^2-2.6a-2.3b+c=0\\ 6^2+ {(-1)}^2-2.6a-2.(-1)b+c=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2a-8b+c=-17\\ -12a-6b+c=-45\\ -12a+2b+c=-37\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\\ c=-3\end{array}\right.$

(thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2-c>0$)

Vậy phương trình đường tròn (C) là: $x^2+y^2-6x-2y-3=0$.

IV. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là

A. (x + 3)² + (y - 1)² = 4.    B. (x - 3)² + (y - 1)² = 4.

C. (x - 3)² + (y + 1)² = 4.    D. (x + 3)² + (y + 1)² = 4.

Lời giải:

Đáp án: C

Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:

(x - 3)² + (y + 1)² = 4

Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là

A. x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0    B. x² + y² + 2x - 4y - 3 = 0

C. x² + y² - 2x - 4y - 5 = 0    D. x² + y² + 2x + 4y - 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:

R = IM =  = √10

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

(x + 1)² + (y - 2)² = 10 ⇔ x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0

Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là

A. (x + 1)² + (y + 4)² = 5    B. (x - 1)² + (y - 4)² = √5

C. (x + 1)² + (y + 4)² = √5    D. (x - 1)² + (y - 4)² = 5

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:

R = IB =  = √5

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)² + (y - 4)² = 5

Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có  . Tập hợp điểm M là

A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3.    B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2.

C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4.    D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: M

⇒ (x + 1)² + (y - 2)² = 4cos²t + 4sin²t ⇔ (x + 1)² + (y - 2)² = 4(sin²t + cos²t)

⇔ (x + 1)² + (y - 2)² = 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2.

Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² - 2x - 6y - 22 = 0    B. x² + y² - 2x - 6y + 22 = 0

C. x² + y² - 2x - y - 1 = 0    D. x² + y² + 6x + 5y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

⇒ Tọa độ điểm I :  ⇒ I( 1; 3)

Bán kính R =  AB =  = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 1)² + (y - 3)² = 32 ⇔ x² + y² - 2x - 6y - 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA² + MB² = 31 có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 6y + 1 = 0    B. x² + y² - 6x - 5y + 1 = 0

C. x² + y² - 2x - 6y - 22 = 0    D. x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có: MA² = ( x + 4)² + (y - 2)² và MB² = ( x - 2)² + (y + 3)²

Để MA² + MB² = 31

⇔ (x + 4)² + (y - 2)² + (x - 2)² + (y + 3)² = 31 ⇔ x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?

A. x² + y² + 2x + 2y - 11 = 0     B. x² + y² – 2x + 2y - 11 = 0

C. x² + y² + 2x - 2y - 11 = 0    D. x² + y² – 2x - 2y – 11 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (a² + b² - c > 0).

Đường tròn này có tâm I(a;b).

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).

+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2)

+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :

4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x² + y² + 2x + 2y - 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?

A. I(0; -2)    B. I( 0; 1)    C. I(0;  )    D. I(0;  )

Lời giải:

Đáp án: C

+ Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a).

⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x² + (y - a)² = R²

+ Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên :

12 + (2 - a)² = R² hay a² - 4a - R² = - 5 (1)

+ Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên :

32 + (1 - a)² = R² hay a² – 2a – R² = - 10 (2)

+ Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

- 2a = 5 ⇔ a = 

⇒ Tâm đường tròn là I(0;  )

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(-1; 1), C(2;3) là:

Câu 17: Đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: x + y – 3 =0 và đi qua hai điểm A(-1; 3), B(1; 4) có phương là

A. x²+y²-x-5y-4=0

B. x²+y²+x-7y+4=0

C. x²+y²-x-5y+4=0

D. x²+y²-2x-4y+4=0

Câu 18: Cho trước ba đường thẳng d₁,d₂,d₃ phân biệt. Gọi m là số đường tròn có tâm nằm trên d₁ và cùng tiếp xúc với d₂,d₃. Khẳng định nào sau đây không thể xảy ra?

A. m = 0     B. m = 1     C. m = 2     D. m = 3

Câu 19: Đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: x + 2y – 6 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ. Khi đó bán kính của đường tròn là

A. R = 2 hoặc R = 4

B. R = 2 hoặc R = 6

C. R = 3 hoặc R = 6

D. R = 3 hoặc R = 4

Câu 20: Cho phương trình x²+y²+(m-4)x+(m+2)y+3m+10=0. Giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một đường tròn có bán kính R = 2 là

A. m=4±√34

B. m=-4±√34

C. m=2±√14

D. m=-2±√14

Câu 22: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+4x-6y-3=0 và đường thẳng Δ: 3x – 4y – 2 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng không cắt đường tròn

B. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

C. Đường thẳng cắt đường trong tại hai điểm cách nhau một khoảng là 10

D. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm cách nhau một khoảng là 8

Câu 23: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+8x+6y+5=0 và đường thẳng Δ: 3x – 4y – 10 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng không cắt đường tròn

B. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

C. Đường thẳng cắt đường trong tại hai điểm cách nhau một khoảng là 10

D. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm cách nhau một khoảng là 8

Câu 24: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+4x-2y-4=0 và điểm M(1; 2). Số tiếp tuyến của đường tròn đi qua M là

A. 0     B. 1     C. 2     D. 4

Câu 25: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+3x-5y+6=0 và điểm M(-2; 1). Số tiếp tuyến của đường tròn đi qua M là

A. 0     B. 1     C. 2     D. 4

Câu 26: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+3x-5y-2=0 và điểm M(-2; 1). Số tiếp tuyến của đường tròn đi qua M là

A. 0     B. 1     C. 2     D. 4

Câu 27: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+4x-2y-4=0 và điểm M(-2; 4) nằm trên đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M là:

A. x + y – 2 = 0

B. 2x + y = 0

C. x = - 2

D. y = 4

Câu 28: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+4x-2y-4=0. Phương trình các tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng Δ: x + 2y – 5 = 0 là

A. x + 2y + 5 ± 3√5=0

B. x + 2y ± 3=0

C. x + 2y ± 3√5=0

D. x + 2y =0

Câu 29: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+4x-2y-4=0. Phương trình các tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng Δ: x + 2y – 5 = 0 là:

A. 2x - y + 5 ±3 √5 = 0

B. 2x - y ± 3 = 0

C. 2x - y ± 3√5 = 0

D. 2x - y = 0

Câu 30: Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²-4x+2y-4=0. Một phương trình tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ điểm M(-4; 2) là

A. – 4x + 3y – 22 = 0

B. 4x + 3y + 10 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0

D. 3x – 4y +20 = 0

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip