Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

- Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Các thành phần của Elip: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

+ Hai tiêu điểm: $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai: $e=\frac{c}{a}<1$ với $c=\sqrt{a^2-b^2}$

II. Các công thức

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

Xét phương trình elip (E) : $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$, ta có:

Bài 2: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip : $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$, ta có:

Bài 3: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip : $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$, ta có:

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{79}+\frac{y^2}{25}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Bài 2: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Bài 3:  Cho elip có phương trình:  = 1 Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.

Bài 4: Cho elip có phương trình: . Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.

Bài 5:  Cho elip có phương trình:  = 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.

Bài 6: Cho elip có phương trình:  = 1 . Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.

Bài 7:  Cho Elip  = 1 . Tính tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn của Elip.

Bài 8: Đường Elip  = 1 có tiêu cự bằng

Bài 9:  Cho Elip 9x² + 36y² – 144 = 0. Câu nào sau đây sai?

Bài 10:  Cho Elip có phương trình : 9x² + 25y² = 225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

Bài 11: Tâm sai của elip  = 1 bằng

Bài 12: Cho elip ( E):  = 1 với a> 0. Tìm a để elip (E) có tâm sai e= 3/5

Bài 13:  Cho elip ( E):  = 1. Tìm b để elip (E) có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 20

Bài 14: Cho elip ( E):  = 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 2√3?

Bài 15:  Cho elip ( E):  = 1. Tìm a > 0 để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 20.

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Đường Elip  = 1 có 1 tiêu điểm là

A. (0 ; 3)    B. (0 ; √6)    C. (-√3 ; 0)    D. (3 ; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: a² = 9; b² = 6 nên c² = a² - b² = 3

⇒ c= √3

suy ra tiêu điểm F1(- √3;0) và F2(√3;0).

Câu 2: Đường Elip  = 1 có tiêu cự bằng

A. 18.    B. 6    C. 9    D. 3

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: a² = 16; b² = 7 nên c² = a² – b² = 9

⇒ c = 3

suy ra tiêu cự là 2c = 6.

Câu 3: Cho Elip 4x² + 9y² - 36 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Trục nhỏ bằng 4    B. F₁(-√5; 0); F₂(-√5; 0)    C. e =     D. Trục lớn bằng 9

Lời giải:

Đáp án: D

Ta đưa elip về dạng chính tắc  = 1

Từ dạng của elip  = 1 ta có  .

⇒ Độ dài trục lớn = 2a= 6 và độ dài trục bé 2b = 4.

Từ công thức b² = a² - c² ⇒ c = √5 ⇒ F₁(-√5 ; 0),F₂(-√5 ; 0) .

Tâm sai của elip e =  ⇒ e = 

⇒ D sai.

Câu 4: Elip  = 1 có một tiêu điểm là

A. (0; √3).    B. (-2 ; 0)    C. (3 ; 0)    D. (0 ; 3)

Lời giải:

Đáp án: B

Từ dạng của elip  = 1 ta có  .

Từ công thức ⇒ c = 2 ⇒ F₁(-2 ; 0), F₂(0 ; 2) .

Câu 5: Elip  = 1 có tiêu cự bằng

A. 2    B. 1    C. 4    D. 9

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Từ dạng của elip  = 1 ta có  .

⇒ c² = a² - b² = 1 nên c = 1

⇒ Tiêu cự là 2c = 2;

Câu 6: Cho elip ( E):  = 1 có độ dài trục lớn là:

A. 2    B. 4    C. 8    D. 16

Lời giải:

Đáp án:C

Elip ( E):  = 1 có a² = 16 và b²= 1

⇒ a= 4 và b= 1

⇒ Độ dài trục bé là: 2a= 8

Câu 7: Cho elip ( E):  = 1 có độ dài trục bé là:

A. 1    B. 2    C. 4    D. 8

Lời giải:

Đáp án: C

Elip ( E):  = 1 có a² = 16 và b²= 4

⇒ a= 4 và b= 2

⇒ Độ dài trục bé là: 2b= 4

Câu 8: Elip  = 1 có diện tích hình chữ nhật cơ sở là:

A. 16    B. 32    C. 9    D. 6

Lời giải:

Đáp án: B

Từ dạng của elip  = 1 ta có: a² = 16; b² = 4 .

⇒ a= 4 và b= 2

⇒ Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là : 2a= 8

Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b = 4

⇒ Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: 8.4 = 32.

Câu 9: Cho elip ( E):  = 1 với b> 0. Tìm b để elip (E) có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 32.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

Elip ( E):  = 1 có a²= 64 nên a= 8.

⇒ Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là: 2a = 16.

Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b.

⇒ Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: 16.2b = 32b.

Để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 32 thì: 32b = 32 ⇔ b = 1.

Câu 10: : Elip  = 1 có tâm sai bằng

A. 3    B. 1/2    C. 3/4    D. 1/8

Lời giải:

Đáp án: C

Từ dạng của elip  = 1 ta có :

a² = 4; b² = 7 nên c² = 16- 7 = 9

⇒ a = 4; c = 3.

Tâm sai của elip  .

Câu 11: Cho Elip có phương trình : 4x²+ 9y² = 36 . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

A. 4    B. 6    C. 12    D. 24

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có 44x²+ 9y² = 36 ⇔  = 1

⇒ a² = 9; b² = 4 nên a = 3; b = 2

Độ dài trục lớn ( chiều dài hình chữ nhật cơ sở ) : 2.a = 6

Độ dài trục nhỏ ( chiều rộng hình chữ nhật cơ sở): 2b = 4 .

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 6.4 = 24

Câu 12: Cho elip ( E):  = 1 với b > 0. Tìm b để elip (E) có tâm sai e =  .

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: D

+ Elip ( E): 

⇒ c²= a²- b² = 25- b²

⇒ c = 

+ Tâm sai của elip ( E) là: e =  = 

+ Theo đầu bài tâm sai e =  nên :  = 

⇔  = 3 ⇔ 25 - b² = 9

⇔b² = 16 mà b > 0 nên b = 4.

Câu 13: Cho elip ( E):  = 1. Tìm b để elip (E) có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: D

+ Elip ( E):  = 1 có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b

⇒Để chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 thì: 2b = 8

⇔ b = 4.

Câu 14: Cho elip ( E):  = 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 4√3?

A. 3    B. 4    C. 6    D. 8

Lời giải:

Đáp án: B

+ Elip ( E):  = 1 có b² = 4

⇔ c² = a² - b² = a² - 4

⇔ c = √(a² -4) và tiêu cự của elip ( E) là: 2c = 2√(a² -4).

+ Để tiêu cự của elip là 4√3 thì: 2√(a² -4) = 4√3

⇔ √(a² -4) = 2√3 ⇔ a² - 4 = 12

⇔ a² = 16 mà a > 0 nên a = 4

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn