Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

256

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x, y là biến)

ax+byn=k=0nCnkaxnkbyk

=Cn0anxn+Cn1an1b.xn1y+Cn2an2b2.xn2y2+....+Cnn1abn1.xyn1+Cnnbnyn

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: Tk+1=Cnkankbkxnkyk

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: Cnkankbk

2. Các công thức

* Với khai triển (axp + bxq)n (p, q là các hằng số)

Ta có: axp+bxqn=k=0nCnkaxpnkbxqk=k=0nCnkankbkxnppk+qk

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm k=mnpqp

Vậy số hạng chứa xm là: Cnkank.bkxm với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n  (p, q là các hằng số)

Ta có: Px=a+bxp+cxqn=k=0nCnkankbxp+cxqk

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được số hạng chứa xm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển: (2 – 3x)20

Lời giải

Khai triển: 23x20=k=020C20k.220k3xk

Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: Tk+1=C20k.220k3xk

Cần tìm số hạng thứ 6 nên k = 5.

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là: T6=C20522053x5=C20521535x5.

Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển: 1x3+x512

Lời giải

1x3+x512=x3+x5212=k=012C12k.x312kx52k=k=012C12k.x36+3k+52k

Cần tìm số hạng chứa x8 nên 36+3k+52k=8k=8

Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển là C128x8=495x8.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là:

1    16    120    560

A. 1    32    360    1680

B. 1    18    123    564

C. 1    17    137    697

D. 1    17    136    680

Khi đó 4 số hạng đầu của hàng kế tiếp là:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

4 số hạng tiếp theo của tam giác Pascal là:

1    1+16=17    16+120=126    120+560=680

Câu 2: Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển (5a-1)5 và số hạng thứ 5 trong khai triển (2a- 3)6 là:

A.4160a2    B.-4160a2    C.4610a2    D.4620a2

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 3: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P(x)=(3x2 + x + 1)10 là :

A.1695    B.1485    C.405    D.360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 4: Tìm số hạng chứa x13 trong khai triển thành các đa thức của (x + x2 + x3 )10 là :

A.180    B.210    C.210x13    D. 180x3

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

+ Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát của khai triển (x+x2+x3)10 là:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 5: Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển (1+ x+ x2 + x3)5

A.98    B.84    C.101    D.121

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hayCách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay
Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Lời giải:

Đáp án : B

Ta có số hạng thứ k+ 1 là :

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Số hạng không chứa x tương ứng với: (60-5k)/6=0

⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.

Do vậy số hạng cần tìm là: Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 2: Trong khai triển ( x - y)11, hệ số của số hạng chứa x8y3 là:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Lời giải:

Đáp án : A

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:

I. Gồm có 7 số hạng.

II. Số hạng thứ 3 là 16x.

III. Hệ số của x5 là 12.

Trong các khẳng định trên

A. Chỉ I và III đúng

B. Chỉ II và III đúng

C. Chỉ I và II đúng

D. Cả ba đúng

Lời giải:

Đáp án : A

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay.

A.37    B.38    C.36    D.39

Lời giải:

Đáp án : B

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

⇒ k= 8t ( với t nguyên)

Lại có: 0≤k≤300 nên 0≤8t≤300

⇔ 0≤t≤37,5. Mà t nguyên nên t ∈ {0,1,2,3..., 37}.

Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho.

Câu 5: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = ( x+1)6 +(x+ 1)7 + ( x+ 1)8 + ..+ (x+ 1)12 .

A.1711    B.1287    C.1716    D.1715

Lời giải:

Đáp án : D

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 6: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển ( 3x+ x2)10

A.145654    B.298645    C.295245    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k+ 1 trong khai triển là:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x - 1)2003 ta được :

P(x)= a2003.x2003 + a2002.x2002 + ...+ a1x+ a0.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Lời giải:

Đáp án : C

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 8: Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển (2x+ 1/2x)10

A.1960    B.1920    C.1864    D.1680

Lời giải:

Đáp án : B

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy2- 1/xy)8

A.70y4 B.25y4 C.50y5 D.80y4

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Số hạng không chứa x ứng với: 8 - 2k=0 ⇔ k= 4

⇒ số hạng cần tìm Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x2+ xy)20

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Lời giải:

Đáp án : D

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 11: Khai triển đa thức: P(x)= ( 2 x- 1)1000 ta được:

P(x)= a1000x1000 + a999x999+ ....+ a1x+ a0 .Tính a1000 + a999 + ...+ a1 + a0 ?

A.-1    B.0    C.2    D.1

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có: (x) = a1000x1000 + a999x999+ ....+ a1x+ a0

Cho x = 1 ta được P(1) = a1000 + a999 + a998 + ...+ a1+ a0 (1)

Mặt khác: P(x) = ( 2x-1)1000 nên P(1)= (2.1 – 1)1000 = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a1000 + a999 + a998 + ...+ a1+ a0 = 1

Câu 12: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = x.(2+ x)5 + x2( 1 + x )10

A.110    B.120    C.130    D.140

Lời giải:

Đáp án : C

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 1/x - 1)10 

A.1951    B.1950    C.3150    D.-360

Lời giải:

Đáp án : A

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 14: Số hạng chứa x8 trong khai triển (x3 - x2 -1)8 

A.168x8    B.168    C.238x8    D.238

Lời giải:

Đáp án : D

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Câu 15: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)2 + ...+ 8(1+x)8

A.487    B.636    C.742    D.568

Lời giải:

Đáp án : B

Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2( 1 + x )2 ; 3(1+x)3 ; 4(1+ x)4 không chứa số hạng chứa x5

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5(1+x)5  Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(1+x)6  Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(1+x)7  Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(1+ x)8  Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Vậy hệ số của x5 trong khai triển P(x) là :

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Xem thêm các Phương pháp giải hay, chi tiết khác: 

Công thức tính xác suất

Phương pháp quy nạp toán học và cách giải

Dãy số và cách giải các dạng bài tập

Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Cấp số nhân và cách giải các dạng bài tập

 
Đánh giá

0

0 đánh giá