Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Cấp số nhân (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Cấp số nhân (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n - 1} với $n\ge 2.$

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

(Hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$).

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy (u_n): u_n = n.6ⁿ⁺¹

c) Dãy (v_n): v_n = (– 1)ⁿ.3²ⁿ.

Lời giải

a) Ta thấy $\frac{-2}{1}=\frac{4}{-2}=\frac{-8}{4}=\frac{16}{-8}=\frac{-32}{16}=\frac{64}{-32}=-2$

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 1 và công bội q = – 2.

b) Ta có: u_n = n. 6ⁿ⁺¹ thì u_n+1 = (n + 1).6ⁿ⁺²

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+1\right)6^{n+2}}{n{.6}^{n+1}}=\frac{6\left(n+1\right)}{n}$ phụ thuộc vào n

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: v_n = (– 1)ⁿ. 3²ⁿ thì v_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹. 3²⁽ⁿ⁺¹⁾

Xét $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}{3}^{2n+2}}{{\left(-1\right)}^n{3}^{2n}}=\left(-1\right){.3}^2=-9$ không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u₁ = (– 1)¹.3^2.1 = – 9 và công bội q = – 9.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.$

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên.

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1{q}^4=51\\ u_{1}q+u_1{q}^5=102\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\\ u_{1}q\left(1+q^4\right)=102\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được q = 2.

Suy ra $u_1=\frac{51}{1+q^4}=\frac{51}{1+2^4}=3$

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u₁ = 3 và công bội q = 2.

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁. q^n–1 nên u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152.

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

$$\begin{gathered} u_n=12288\iff {3.2}^{n-1}=12288 \\ \iff 2^{n-1}=2^{12}\iff n=13 \end{gathered}$$.

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1} ; u_k ; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có: 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân

$$\begin{gathered} \iff x^4=1.\left(6-x^2\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=2\\ x^2=-3\left(Loại\right)\end{array}\right. \\ \iff x=\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$ thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tìm x và y.

Lời giải

Vậy $(x;y)\in \left\{\left(0;0\right);\left(\frac{10}{3};\frac{4}{3}\right);\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{10}\right)\right\}$.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},\left(q\ne 1\right).$

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k. Tính S₁₅.

b) (u­_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k thì u₁ = 2 và q = – 3

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

$S_{15}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2.\left[1-{\left(-3\right)}^{15}\right]}{1-\left(-3\right)}=\frac{3^{15}+1}{2}$

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai $u_2=54\Rightarrow u_{1}q=54\Rightarrow q=3$

Số hạng cuối $u_n=39366$

$$\begin{gathered} \iff u_1.q^{n-1}=39366\iff {18.3}^{n-1}=39366 \\ \iff 3^{n-1}=3^7\iff n=8 \end{gathered}$$

Vậy ${\text{S}}_8=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{18.\left(1-3^8\right)}{1-3}=59040$

Ví dụ 2: Tính tổng

a) $S_n=9+99+999+\mathrm{...}+\underset{nsố9}{\underbrace{\mathrm{999..9}}}$

b) $S_n=8+88+888+\mathrm{...}+\underset{nsố8}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}$

Lời giải

3. Bài tập vận dụng 

4. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án là C (CSN với công bội là 7).

Bài 2: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁=5; u₂ = 8. Tìm u₄

A. 512/25

B. 125/512

C. 625/512

D. 512/125

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án A

Bài 3: Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư bằng 6. Tính tổng của cấp số nhân đó?

Lời giải:

Đáp án: C

Kí hiệu u₁,u₂,u₃,u₄,u₅ là các số hạng của cấp số nhân

Đáp án C.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân (AB=AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự số đo lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Đáp án: C

Theo giả thiết AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:

Từ đó ta có kết quả sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin²C = 1-cos²C ⇔ cos²C + 2cosC -1 =0 ⇒cosC = -1 +√2 (0º< C < 90º)

Do C là góc nhọn nên 

Cho nên công bội của cấp số nhân là:

Đáp án C.

Bài 5: Tìm các số (x,y) biết y < 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số x+ 5/3, y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. (3, -1)

B. (-3, -1)

C. (-1,-3)

D. (-1,3)

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có hệ phương trình:

Từ đó ta suy ra

Thế (1) vào (2) ta được: 8y²+7y-1=0⇒y=-1 hoặc y=1/8

Do y < 0 , ta được y = -1, x = -3

Đáp án B.

Bài 6: Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân?

A. 1,3,5,7,9

B. -1,-3,1,3,5

C. 1,2,4,16,256

D. 1,2,4,8,16

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án D (CSN với công bội là 2).

Bài 7: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số nhân?

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C vì 

Bài 8: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) thoả mãn hệ 

A. 2        B. 12        C. 24        D. 0

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án B.

Bài 9: Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93. Ta có thể sắp xếp chúng (theo thứ tự của cấp số nhân kế trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng. Tìm tích của 3 số đó.

A. 3375

B. 64

C. 2744

D. 1000

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 3 số cần tìm là a, b, c. Vì 3 số trên là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng nên ta có  (với d là công sai của cấp số cộng đó).

3 số trên tạo thành cấp số nhân với tổng là 93 nên ta có:

Vậy a = 3, b = 15, c = 75. Tích ba số trên là 3.15.75 = 3375.

Đáp án A.

Bài 10: Tìm số hạng đầu của cấp số nhân có bốn số hạng, biết tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.

A. 4

B. 16/9

C. 2/3

D. -1

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 4 số cần tìm là a, b, c, d. Vì 3 số hạng đầu là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng nên ta có  (với d là công sai của cấp số cộng đó).

Từ giả thiết ta có:

Vậy số hạng đầu là 4. Đáp án A.

Bài 11: Cho 3 số x, 3, y lập thành một cấp số nhân và x⁴=y√3. Tìm công bội q của cấp số đó

A. 1/3

B. √3

C. 3

D. 1/√3

Lời giải:

Đáp án: B

Vậy công bội q = √3.

Đáp án B.

Bài 12: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng a,b,c. Biết  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo góc B.

A. 30º

B. 45º

C. 15º

D. 60º

Lời giải:

Đáp án: D

Vì  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và tam giác ABC vuông nên ta có:

Đáp án D.

Bài 13: Giả sử a,b,c ,d lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức

        (a-c)²+(b-c)²+(b-d)²-(a-d)²

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải:

Đáp án: D

(a-c)²+(b-c)²+(b-d)²-(a-d)²=2b²+2c²-2ac-2bc-2bd+2ad

Vì a, b, c, d là một cấp số nhân nên ta có: b²=ac,b²=bd.

Khi đó ta có: (a-c)²+(b-c)²+(b-d)²-(a-d)²=2ad-2bc=0.

Đáp án D.

Bài 14: Công bội nguyên dương của cấp số nhân (u_n) thoả mãn 

A. 3        B. 2        C. 1        D. 0

Lời giải:

Đáp án: B

(do dãy trên có công bội nguyên dương)

Đáp án B.

Bài 15: Cho dãy số (un) với . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (u_n) không phải là cấp số nhân.

B. (u_n) là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu u₁=3/2

C. (u_n) là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu u₁=15/2

D. (u_n) là cấp số nhân có công bội q = 2.5 và số hạng đầu u₁=3

Lời giải:

Đáp án: C

Vậy công bội q = 5, số hạng đầu là: 15/2.

Đáp án C.

Xem các Phương pháp giải hay, chi tiết khác: 

Công thức cấp số cộng

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức cấp số nhân