Bạn cần đăng nhập để đánh giá tài liệu

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

307

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (50 bài tập minh họa) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên Sđược xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n1d2

Trong đó: ulà số hạng đầu tiên của cấp số cộng

                 d là công sai của cấp số cộng

2. Công thức

Tổng n số hạng đầu tiên Sn=nu1+un2 hoặc Sn=n2u1+n1d2

Tổng của số hạng thứ k đến số hạng thứ n của dãy (với k < n):

S = uk +  uk+1 +  uk+2 + … +  un = Sn – Sk-1

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u5 = –15; u20 = 60.

a) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u21 +  u22 +  u23 + … +  u200.

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u20 – u5 = u1 + 19d – u1 – 4d = 15d.

Khi đó: 15d = 60 – (– 15) = 75. Suy ra: d = 5.

Ta có: u5=u1+4d=15u1=154d=35.

a) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

S20=n2u1+n1d2=202.35+19.52=250

b) S200=n2u1+n1d2

=2002.35+199.52=92500

S = u21 +  u22 +  u23 + … +  u200 = S200 – S20 = 92 500 – 250 = 92 250.

Ví dụ 2:  Cho cấp số cộng (un) có dạng un = 4n – 1.

a) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u1 +  u4 +  u7 + u10 +  u13 + … +  u301.

Lời giải

Ta có u1 = 4.1 – 1 = 3 và d = un+1 – un = 4(n + 1) – 1 – (4n – 1) = 4

a) Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

S100=n2u1+n1d2=1002.3+99.42=20100

b) Dãy số là (vn): u1 u4 u7; u10; …  u301 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 và công sai d’ = u4 – u1 = 3d = 12.

Dãy (vn) có 30113+1=101 số hạng

S=u1+u4+u7+u10+u13+  + u301=101.2.3+100.122=60903.

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho (un) là cấp số cộng và Sm = Sn với m ≠ n.Tính Sm+n

A. 0     B. Sm − Sn

C. Sn − Sm     D. Sn + Sm

Hướng dẫn giải:

* Ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Do Sm = Sn với m ≠ n nên ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải (do (*)

Chọn A.

Câu 2: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 2, số hạng tổng quát un= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn B.

Câu 3: Gọi Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Khi đó S20 có giá trị là

A. 34     B. 30,5

C. 325    D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn D

Câu 4: Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

A. u1 = 16    B. u1 =- 16

C. u1 = 8    D. u1 = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Lại có: u8 = u1 + 7d => u8 – u1 = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn A.

Câu 5: Cho dãy số (un) là một cấp số cộng có u1 = -1; d = 2 và Sn= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20    B. n= 21

C. n= 22    D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn D.

Câu 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Từ (1) suy ra : Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải thế vào (2) ta được

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Đặt Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải khi đó phương trình (*) trở thành:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải thì Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Với t = 1 => d2 = 1 ⇔ d= ±1

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u1 thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 7: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u4 + u8 + u11 + u17 = 100. Tính S19

A. 475     B. 500

C. 1000     D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Do đó: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn A.

Câu 8: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63     B. 67

C. 75     D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Câu 9: Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn D.

Câu 10: Cho cấp số cộng (un) có u5 = −10 và u15 = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S20 = 560    B. S20 = 480

C. S20 = 570    D. S20 = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Theo giả thiết ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn C.

Câu 11: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tính tổng S = u5 + u6 + ..+ u30

A. – 1243     B. -1235

C. – 1345     D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

* Ta có: u5; u6; ...; u30 là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u5 = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn B.

Câu 12: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300. Tính u9 + u8

A. 50     B. 150

C.75     D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300

⇔ u1 + d + u1 + 2d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 +11d+ u1 + 16d = 300

⇔ 6u1 + 45d = 300 ⇔ 2u1 + 15d = 100

* Do đó; Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Chọn D.

Câu 13: Cho cấp số cộng (un) có công sai d = 1 và u22 − 2u32 − u42 đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120    B. 125

C.130    D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u1 thì

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u1 = −3.

Ta có Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải.

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110    B. -220

C.220    D. -110

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: −16 − (−12) = −12 − (−8) = −8 − (−4) = −4

Nên công sai d = −4

Áp dụng công thức Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải nên tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 2: Cho dãy số (un) có d = 1; S5 = 65. Tính u2?

A. 12     B. 13

C. 14     D.10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

=>u1 + u5 = 26 (1)

Lại có: u5 = u1 + 4d = u1 + 4

=> u5 − u1 = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Số hạng thứ hai của dãy số là: u2 = u1 + d = 11 + 1 = 12

Câu 3: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tính S = u1 + u4 + u7 +..+ u2011 .

A. S = 2023 736    B. S = 2534134

C. S = 673044    D. S = 2198 650

Lời giải:

Đáp án: A

* Gọi d là công sai của cấp số cộng, theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Ta có công sai d = 3 và số hạng đầu u1 = 1.

* Ta có các số hạng u1; u4; u7;...; u2011 lập thành một cấp số cộng gồm: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải số hạng với công sai d’ = 3d = 9.

nên ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 4: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565    B. −530

C. −652    D. −285

Lời giải:

Đáp án: B

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Tổng của 20 số hạng đầu: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 5: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tính tổng S= u5 + u7 + ..+ u2011

A. S = 3028760    B. S = 3420198

C. S = 3034088    D. S = 3298701

Lời giải:

Đáp án: C

* Theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

=> Số hạng thứ 5 là: u5 = u1 + 4d = 1 + 4.3 = 13

* Ta có u5; u7..,u2011 lập thành cấp số cộng với công sai d' = 2d = 6 và có Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải số hạng nên Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải.

Câu 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Lời giải:

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 7: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10    B. 5

C. 8    D.0

Lời giải:

Đáp án: D

Theo giả thiết ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

=> Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u5 = u1 + 4d = 0

Câu 8: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u22 = 20. Tính S23?

A. 120     B. 230

C. 150     D. 200

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết thì u2 + u22 = 20

⇔ u1 + d + u1 + 21d = 20

⇔ 2u1 + 22d = 20

Lại có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 9: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u21 + u59 = 30. Tính u20 + u59 + u158 + 3u1

A.90     B.120

C.150     D. 180

Lời giải:

Đáp án: A

* Theo giả thiết ta có: u1 + u59 = 30

⇔ u1 + 20d+ u1 + 58d = 30

⇔ 2u1 + 78d = 30

* Do đó; u20 + u59 + u158 + 3u1

= u1 + 19d + u1 + 58d + u1 + 157d + 3u1

= 6u1 + 234 = 3. (2u1 + 78d) = 3 . 30 = 90.

Câu 10: Cho (un) là cấp số cộng. Đặt Sn = m; Sn = m với (m ≠ n). Tính Sm+n

A. – m- n     B.n+ m

C .2n+2m     D.n.m

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có Sm = n nên Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Tương tự do Sn = m nên: 2nu1 + (n2 − n)d = 2m

Từ (1) và (2) vế trừ vế ta được :

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Do m ≠ n nên:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Mặt khác ta có: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Thay kết quả (*) vào biểu thức của Sm+n ta được: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 11: Tính tổng sau: S = 1002 − 992 + 982 − 972 + ..+ 22 − 12

A. 5000    B.5050

C.5100    D. 5150

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

S = 1002 – 992 + 982 – 972 + ...+ 22 - 12

⇔ S = (100 - 99) . ( 100+ 99)+ (98- 97). (98+ 97)+ ...+ ( 2-1)(2+ 1)

⇔ S = 199 + 195 + 191+ ...+ 3

Ta có dãy số 199, 195, 191,.., 3 là cấp số cộng với công sai d = -4, số hạng đầu tiên u1 = 199 và có Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải số hạng

Vậy tổng Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 12: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n − n2. Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7    B. M= 4

C. M=- 1    D. M= 1

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76     B.77

C.78     D.79

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi số hàng cây là n.

Gọi số cây lần lượt trên các hàng là 1;2;3..;n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; d = 1.

Ta có:

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Vậy số hàng cần tìm là 77.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

 

 

Đánh giá

0

0 đánh giá