Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính công bội của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

 Công thức tính công bội của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội.

2. Công thức

- Tính công bội dựa vào định nghĩa: $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ hoặc $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\mathrm{...}$.

- Đề bài cho các dữ kiện khác: Lập hệ phương trình hai ẩn u₁ và q. Tìm u₁ và q.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho cấp số nhân (u_n) với u_n = 2.3ⁿ⁺¹. Tìm q?

b) Cho cấp số nhân (u_n) với $u_1=-\frac{1}{2};{\text{ u}}_7=-32$. Tìm q?

Lời giải

a) Cách 1: Ta có: u_n+1 = 2.3ⁿ⁺¹⁺¹ = 2.3ⁿ⁺².

Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{2.3}^{n+2}}{{2.3}^{n+1}}=3$

Cách 2: Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{{2.3}^{2+1}}{{2.3}^{1+1}}=3$

b) Ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_7=-32\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_1{q}^6=-32\end{array}\right. \\ \Rightarrow q^6=64=2^6\iff q=\pm 2 \end{gathered}$$

Vậy công bội của cấp số nhân là q = 2 hoặc q = – 2.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n)  thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\right.$

Tìm u₁ và q?

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ u_1{q}^2=243.u_1{q}^7\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ q^5=\frac{1}{243}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{3}\\ u_1=2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $u_1=2;q=\frac{1}{3}$.

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2 và u₇ = 128. Tìm q.

A .q= 2    B. q= - 2

C. q= ±3     D. q= ±2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy q = 2 hoặc q = −2

Chọn D.

Câu 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15, 95, 275    B.15, 75, 375

C. 75, 375, 1975    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B .

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Câu 4: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và u₈ = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₈ = u₁ . q₇ nên 

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; u_n = 3. 2^n-1.

Ta có:

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Chọn A.

Câu 5: Cho cấp số nhân (u_n) với  . Số 222 là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

Xét phương trình:

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Chọn D.

Câu 6: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số hạng đầu tiên có dạng  trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u₁ ≠ 0 ) ta được:

Thay vào (1) suy ra:

Chọn C.

Câu 7: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm u1 biết 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ ( 1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Thay vào (1) ta tìm được u₁ = 1 hoặc u₁ = 8.

Chọn B.

Câu 8: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn:  . Tìm u₁ và q?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Đặt:  . Điều kiện |t| ≥ 2

Với 

Nếu 

Nếu 

Chọn C.

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có: 

Từ (1) và u₁ q ≠ 0 suy ra:

Từ (2) suy ra: 

Chọn B.

Câu 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Chọn C.

Câu 11: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Hướng dẫn giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó; ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = 160 và số hạng thứ 6 là u₆ = 5.

Suy ra:

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u₂ = 80; u₃ = 40; u₄ = 20 và u₅ = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  . Chọn mệnh đề đúng:

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có:  không đổi

=> (u_n) là cấp số nhân có công bội  .

+ Dãy số (u_n) có số hạng tổng quát là:

+Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

=> B đúng

Câu 2: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn : u₂ = 4 và u₃ = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân ?

Lời giải:

Đáp án: A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn :  . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đầu bài ta có :

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u₁ ≠ 0)

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là : u₆ = u₁ . q₅ = 3 . 25 = 96

Câu 4: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?

Lời giải:

Đáp án: B

Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là : u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u₆ = 1 .

Suy ra:

Do đó; u₂ = 81; u₃ = 27; u₄ = 9 và u₅ = 3.

Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27+ 9+ 3= 120.

Câu 5: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Thay  vào (*) được:

Với 

Với 

Câu 6: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm công bội biết: 

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được:

Câu 7: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  .Trên khoảng  có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Lời giải:

Đáp án: B

* Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó từ giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) chia vế ta được:

+ Với  . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Để số hạng thứ n thuộc khoảng  thì:

⇔ n= 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

+ Với  . Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì:

⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.

Như vậy trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

Câu 8: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  biết u_i > 0. Tính công bội q?

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

Từ (2)  ( vì u_i > 0)

 thay vào (1) ta được:

Với q = 2 thì 

Với  thì u₁ = 20.

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được:

+ Với q = 2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

+ Với q = −2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

Như vậy ;trong cả hai trường hợp ta có: u₁ = 5.

Câu 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Lời giải:

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q² ≠ 0 ta được:

Đặt  . Điều kiện: |t| ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

Với 

với 

với 

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập

Hàm số liên tục và cách giải bài tập