Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

 Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

Trong đó, u₁ là số hạng đầu tiên, q là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Công thức

- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

- Công thức tính nhanh tổng:

$S=9+99+999+\mathrm{...}+\underset{nsố9}{\underbrace{\mathrm{999..9}}}$$=\frac{10\left({10}^n-1\right)}{9}-n$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₂ = 10 và u₅ = 1250.

a) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

b) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₉₉.

Lời giải

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_2=10\\ u_5=1250\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q=10\\ u_1{q}^4=1250\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{q}^3=125=5^3\\ u_{1}q=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=5\\ u_1=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

$S_{20}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2.\left[1-5^{20}\right]}{1-5}=\frac{1}{2}.\left(5^{20}-1\right)$

b) Dãy số u₁; u₃; u₅; u₇; … u₉₉ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 2 và công bội $q\text{'}=\frac{u_3}{u_1}=q^2=25$.

Dãy số đó có: $\frac{99-1}{2}+1=50$ số hạng

Tổng

$$\begin{gathered} S=u_1+u_3+u_5+u_7+\dots +u_{99} \\ =\frac{2\left(1-{25}^{50}\right)}{1-25}=\frac{1}{12}.\left({25}^{50}-1\right) \\ =\frac{1}{12}.\left(5^{100}-1\right) \end{gathered}$$.

Ví dụ 2:  Tính tổng: $S_n=1+11+111+\mathrm{...}+\underset{nso1}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}$.

Lời giải

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tính tổng S= u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄

Hướng dẫn giải:

* Ta có:  với mọi n.

=> Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

* các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4. Tổng của 7 số hạng u₂; u₄;...u₁₄ là :

Chọn A.

Câu 2: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với . Theo đề bài ta có :

Từ (2) ta có:

⇔ q= 3. Thay vào (1) ta được :

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

Chọn D.

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

Chọn C.

Câu 4: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tính u₁?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế với u₁ ≠ 0 ta được :

* Với q = 6 => u₁ = 1.

* Với 

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 1 hoặc 36.

Chọn B.

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn; . Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

Hướng dẫn giải:

* Trước tiên ta đi tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có: 

Từ (1) và (2) vế chia vế ( với u_1.q≠0) ta được: 

hay q = 2 thay vào (1) ta được u₁ = 3

*Ta có tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

Chọn D.

Câu 6: Tính tổng S_n = 3 + 3² + 3³ + ....+ 3ⁿ

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 3; 3², 33³3; ..;3ⁿ là một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng của n số hạng đầu tiên là:

Chọn A.

Câu 7: Tính 

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Có dãy số 3²; 3⁴;..; 3²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = 32 và công bội q = 9. Do đó 

Có dãy số  là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu  và công bội . Do đó

Vậy 

Chọn C.

Câu 8: Tính 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy

Chọn B.

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₂ = −6. Biết rằng S_n = −29524 , tính u_n.

Hướng dẫn giải:

Ta có u₂ = u₁ . q nên −6 = 2q ⇔ q = −3

Ta có

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Tính tổng 

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Nhận xét: dãy số 3,3², 3³, 3⁴,..., 3²⁰ là cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng 20 số hạng của dãy số là: 

Câu 2: Tính tổng 

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số (-1),(-1)²,(-1)³,…,(-1)⁴¹ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u₁ = −1 và công bội q = −1.

Do đó tổng S bằng. 

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất. Tìm k, biết S_k = 189.

Lời giải:

Đáp án: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có 

Theo giả thiết, ta có:

Câu 4: Tính tổng 

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số  theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng. Có số hạng đầu là: 

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

Câu 5: Tính tổng sau 

Lời giải:

Đáp án: B

* Nhận xét:

Nên:

Vì 10+ 10² + 10³ + ..+ 10ⁿ là tổng của cấp số nhân; số hạng đầu u1 =10, công bội q = 10 nên 

Câu 6: Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết công bội q= 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đề bài ta có:

Thay q= 3 vào (*) ta được :

Câu 7: Tính tổng 

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  và .Tổng  bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt 

suy ra  trong đó là cấp số nhân với công sai 

Do đó 

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₁ = 4; q = 2 và S_n = 2044. Tính S_2n?

Lời giải:

Đáp án: D

*Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:

* Khi đó: 

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập

Hàm số liên tục và cách giải bài tập

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập