Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

299

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa đạo hàm

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0a;b. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số fxfx0xx0 khi xx0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0.

- Kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0). Như vậy ta có: f'x0=limxx0fxfx0xx0.

- Nhận xét:

Nếu đặt Δx=xx0 và Δy=fx0+Δxfx0 thì ta có f'x0=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx0+Δxfx0Δx.

Trong đó Δx được gọi là số gia của biến số tại x0

 Δy gọi là số gia của hàm số ứng với số gia Δx tại x0.

b) Đạo hàm một bên

- Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f'x0 được định nghĩa là:

f'(x0)=limΔx0ΔyΔx=limxx0f(x)f(x0)xx0

trong đó xx0 được hiểu là xx0 và x < x0.

- Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f'x0+ được định nghĩa là:

f'(x0+)=limΔx0+ΔyΔx=limxx0+f(x)f(x0)xx0

trong đó xx0+ được hiểu là xx0 và x > x0.

- Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f'x0 và f'x0+ tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f'x0=f'x0+=f'x0.

c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b -) và đạo hàm phải f’(a+).

d) Quy tắc tính  đạo hàm bằng định nghĩa

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:

- Cách 1:

Bước 1: Với Δx là số gia của đối số tại x0 ta tính Δy=fx0+Δxfx0

Bước 2: Tính giới hạn limΔx0ΔxΔy.

- Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là  f'x0=limxx0fxfx0xx0

e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

Phương pháp giải:

Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x0 tương ứng với số gia Δx cho trước ta áp dụng công thức: Δy=fx0+Δxfx0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2, biết rằng:

a) x0=1; Δx=1.

b) x0=1; Δx=0,1.

Lời giải

a) Số gia của hàm số là:

Δy=fxo+Δxfx0=f2f1

=233.22+2(133.12+2)=2.

b) Số gia của hàm số là:

Δy=fxo+Δxfx0 =f0,9f1

=0,933.0,92+2(133.12+2)=0,299.

Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:

a) y = 2x + 3.

b) y = 2x2 – 3x + 1 tại x0 = 1.

Lời giải

a) Số gia của hàm số là:

Δy=fx0+Δxfx0

=2x0+Δx+32x0+3=2Δx

b) Số gia của hàm số là:

 Δy=f1+Δxf1

=21+Δx231+Δx+12.123.1+1

=2+4Δx+2Δx233Δx+10

=2Δx2+Δx.

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải:

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:

Cách 1:

Bước 1: Với Δx là số gia của đối số tại x0 ta tính Δy=fx0+Δxfx0

Bước 2: Tính giới hạn limΔx0ΔxΔy.

Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là  f'x0=limxx0fxfx0xx0

Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = 2x2 + x + 1 tại x0 = 2.

b) y=2x+1 tại x0 = 1.

c) y=2x1x+1 tại x0 = 3.

Lời giải

a) Cách 1: Với Δx là số gia của đối số x0 = 2.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

Δy=fx0+Δxfx0

=22+Δx2+2+Δx+12.22+2+1

=8+8Δx+2Δx2+2+Δx+111

9Δx+2Δx2=Δx9+2Δx

Ta có f'2=limΔx0ΔyΔx=limΔx0Δx9+2ΔxΔx=limΔx09+2Δx=9.

Cách 2: limx2fxf2x2=limx22x2+x+111x2

=limx22x2+x10x2=limx2x22x+5x2=limx22x+5=9.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0=2 và f'2=9.

b) Cách 1: Với Δx là số gia của đối số x0 = 1.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

Δy=fx0+Δxfx0=f1+Δxf1

=2(1+Δx)+13=2Δx3+2Δx+3

Ta có f'1=limΔx0ΔyΔx=limΔx02ΔxΔx3+2Δx+3=limΔx023+2Δx+3=13.

Cách 2: limx1fxf1x1=limx12x+13x1=limx12x1x12x+1+3=limx122x+1+3=13.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 và f'1=13

c) Cách 1: Với Δx là số gia của đối số x0 = 3.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

Δy=fx0+Δxfx0=f3+Δxf3

=2(3+Δx)13+Δx+154=5+2Δx4+Δx54=3Δx4(4+Δx)

Ta có f'3=limΔx0ΔyΔx=limΔx03ΔxΔx.4(4+Δx)=limΔx034(4+Δx)=316.

Cách 2: limx3fxf3x3=limx32x1x+154x3

=limx33(x3)(x3)(x+1)4=limx33(x+1)4=316.

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 3 và f'3=316.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = x3 tại x0.

b) y=x tại x0.

Lời giải

a) Với Δx là số gia của đối số x0.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

 Δy=fx0+Δxfx0=x0+Δx3x03

=x03+3x02.Δx+3x0.Δx2+Δx3x03

=3x02.Δx+3x0.Δx2+Δx3

Ta có: f'x0=limΔx0ΔyΔx=limΔx03x02.Δx+3x0.Δx2+Δx3Δx

=limΔx03x02+3x0.Δx+Δx2=3x02

Vậy đạo hàm của hàm số tại x0 là f'x0=3x02 

b) Với Δx là số gia của đối số x0.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

Δy=fx0+Δxfx0=x0+Δxx0

Ta có: f'x0=limΔx0ΔyΔx=limΔx0x0+Δxx0Δx

=limΔx0x0+Δxx0Δxx0+Δx+x0

=limΔx0ΔxΔxx0+Δx+x0

=limΔx01x0+Δx+x0=1x0+x0=12x0

Dạng 3: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Phương pháp giải:

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

Chú ý: Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại x0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0:

Lời giải

Ta có: limx0+x=limx0x=0=f0 nên hàm số f(x) = |x| liên tục tại x = 0.

Ta có: limx0+f(x)f(0)x=limx0+x0x=limx0+xx=1

limx0f(x)f(0)x=limx0x0x=limx0xx=1

Nên limx0+f(x)f(0)xlimx0f(x)f(0)x nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

3. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Số gia của hàm số fx=x22ứng với số gia Δx của đối số x tại x0 = – 1 là

A. 12Δx2Δx.    

B. 12Δx2Δx.

C. 12Δx2+Δx.

D. 12Δx2+Δx.

Câu 2. Tỉ số  ΔyΔx của hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x và Δx

A. 4x+2Δx+2.                                      

B. 4x+2Δx22.

C. 4x+2Δx2.                                      

D. 4xΔx+2Δx22Δx.

Câu 3. Số gia của hàm số f(x) = x3 ứng với x0 = 2 và Δx=1 bằng bao nhiêu?

A. – 19.               

B. 7.                        

C. 19.                       

D. –7.

Câu 4. Tính tỷ số ΔyΔx của hàm số y=1x theo x và Δx.

A. ΔyΔx=1xx+Δx.                                 

B. ΔyΔx=1xx+Δx.

C. ΔyΔx=1x+Δx.                                   

D. ΔyΔx=1x+Δx.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 tại x0 = 1

A. 2.                      

B. 3.                          

C. 4.                          

D. 5.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x3 tại x0 = 1

A. 4.                      

B. 3.                          

C. 5.                          

D. 6.

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x3 + x – 2 tại x0 = – 2 là

A. 13.                   

B. 12.                      

C. 10.                       

D. – 8.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số f(x)=x2+x+1 tại điểm x0 = 2

A.2.                    

B.527.                    

C.83.                    

D. 41.

Câu 9. Đạo hàm của hàm số y=2x+1 tại x0 = 2 là

A. 19.                    

B. -29.                     

C. -112.                   

D. 52.

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y=3x+145x tại x0 = 1 là

A. 15.                   

B. – 15.                    

C. – 17.                    

D. 17.

Câu 11. Đạo hàm của hàm số f(x)=x2+x+1x tại x0 = – 1

A. 2.                      

B. 0.                          

C. 3.                          

D. Đáp án khác.

Câu 12. Đạo hàm của hàm số f(x) = x2 – x tại điểm x0 ứng với số gia Δx là:

A. limΔx0Δx2+2xΔxΔx.                     

B. limΔx0Δx+2x1.

C. limΔx0Δx+2x+1.                                

D. limΔx0Δx2+2xΔx+Δx.

Câu 13. Cho hàm số y=x2+x+5x. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

Câu 14. Cho hàm số y = |2x – 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục tại x=32, không có đạo hàm tại x=32.

B. Hàm số liên tục tại x=32, có đạo hàm tại x=32.

C. Hàm số không liên tục tại x=32, không có đạo hàm tại x=32.

D. Hàm số không liên tục tại x=32, có đạo hàm tại x=32.

Câu 15. Cho hàm số y = f(x) =x2 - 2|x + 3|. Khẳng định nào là đúng:

A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.

D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.

 Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

C

C

B

A

B

A

B

B

D

D

A

C

A

A

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:

A. (Δx)2 + 2Δx

B. (Δx)2 + 4Δx

C. (Δx)2 + 2Δx - 3

D. 3

Lời giải:

Đáp án: B

Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) - (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx

Đáp án B

Bài 2: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:

A. 1/4            B. -1/2            C. 0            D. 1/2

Lời giải:

Đáp án: A

với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án A

 

Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục tại x = -1

B. f(x) có đạo hàm tại x = -1

C. f(-1) = 0

D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1

Lời giải:

Đáp án: B

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án khi x → -1

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1

Vậy chọn đáp án là B

Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2x2 - 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:

A. 1

B. 1,42

C. 2,02

D. 0,42

Lời giải:

Đáp án: B

chọn đáp án là B

Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)

Vậy chọn đáp án là C

Bài 6: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

A. 1            B. 0            C. 1/4            D. -1/4

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là C

Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x3 + 1 tại x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là B

Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. 1/2            B. -1/√2            C. 0             D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có f(0) = 0, do đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là A

Bài 9: Hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: A

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là A

Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?

A. 1/2            B. 1            C. 0            D. 2

Lời giải:

Đáp án: D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập

Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải

Đánh giá

0

0 đánh giá