Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:
Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024
1. Lý thuyết
a) Định nghĩa đạo hàm
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và . Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0.
- Kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0). Như vậy ta có: .
- Nhận xét:
Nếu đặt và thì ta có .
Trong đó được gọi là số gia của biến số tại x0
gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại x0.
b) Đạo hàm một bên
- Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là được định nghĩa là:
trong đó được hiểu là và x < x0.
- Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là được định nghĩa là:
trong đó được hiểu là và x > x0.
- Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu và tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: .
c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).
- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b -) và đạo hàm phải f’(a+).
d) Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:
- Cách 1:
Bước 1: Với là số gia của đối số tại x0 ta tính
Bước 2: Tính giới hạn .
- Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là
e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0.
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm số gia của hàm số
Phương pháp giải:
Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x0 tương ứng với số gia cho trước ta áp dụng công thức: .
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2, biết rằng:
a) .
b) .
Lời giải
a) Số gia của hàm số là:
.
b) Số gia của hàm số là:
.
Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:
a) y = 2x + 3.
b) y = 2x2 – 3x + 1 tại x0 = 1.
Lời giải
a) Số gia của hàm số là:
b) Số gia của hàm số là:
.
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:
Cách 1:
Bước 1: Với là số gia của đối số tại x0 ta tính
Bước 2: Tính giới hạn .
Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là
Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y = 2x2 + x + 1 tại x0 = 2.
b) tại x0 = 1.
c) tại x0 = 3.
Lời giải
a) Cách 1: Với là số gia của đối số x0 = 2.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
Ta có .
Cách 2:
.
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và .
b) Cách 1: Với là số gia của đối số x0 = 1.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
Ta có .
Cách 2: .
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 và
c) Cách 1: Với là số gia của đối số x0 = 3.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
Ta có .
Cách 2:
.
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 3 và .
Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y = x3 tại x0.
b) tại x0.
Lời giải
a) Với là số gia của đối số x0.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
Ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số tại x0 là
b) Với là số gia của đối số x0.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
Ta có:
Dạng 3: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Phương pháp giải:
Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.
Chú ý: Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại x0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0:
Lời giải
Ta có: nên hàm số f(x) = |x| liên tục tại x = 0.
Ta có:
Nên nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
3. Bài tập vận dụng
Câu 1. Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 = – 1 là
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Tỉ số của hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x và là
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Số gia của hàm số f(x) = x3 ứng với x0 = 2 và bằng bao nhiêu?
A. – 19.
B. 7.
C. 19.
D. –7.
Câu 4. Tính tỷ số của hàm số theo x và
A.
B.
C.
D.
Câu 5. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 tại x0 = 1
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Câu 6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x3 tại x0 = 1
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x3 + x – 2 tại x0 = – 2 là
A. 13.
B. 12.
C. 10.
D. – 8.
Câu 8. Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 2
A..
B..
C..
D. .
Câu 9. Đạo hàm của hàm số tại x0 = 2 là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 10. Đạo hàm của hàm số tại x0 = 1 là
A. 15.
B. – 15.
C. – 17.
D. 17.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số tại x0 = – 1
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. Đáp án khác.
Câu 12. Đạo hàm của hàm số f(x) = x2 – x tại điểm x0 ứng với số gia là:
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Cho hàm số . Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
Câu 14. Cho hàm số y = |2x – 3|. Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục tại , không có đạo hàm tại .
B. Hàm số liên tục tại , có đạo hàm tại .
C. Hàm số không liên tục tại , không có đạo hàm tại .
D. Hàm số không liên tục tại , có đạo hàm tại .
Câu 15. Cho hàm số y = f(x) =x2 - 2|x + 3|. Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
A |
C |
C |
B |
A |
B |
A |
B |
B |
D |
D |
A |
C |
A |
A |
5. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:
A. (Δx)2 + 2Δx
B. (Δx)2 + 4Δx
C. (Δx)2 + 2Δx - 3
D. 3
Lời giải:
Đáp án: B
Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) - (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx
Đáp án B
Bài 2: Cho hàm số
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:
A. 1/4 B. -1/2 C. 0 D. 1/2
Lời giải:
Đáp án: A
với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có
Đáp án A
Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x) liên tục tại x = -1
B. f(x) có đạo hàm tại x = -1
C. f(-1) = 0
D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1
Lời giải:
Đáp án: B
Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số khi x → -1
Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1
Vậy chọn đáp án là B
Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2x2 - 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:
A. 1
B. 1,42
C. 2,02
D. 0,42
Lời giải:
Đáp án: B
chọn đáp án là B
Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:
Lời giải:
Đáp án: C
Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Vậy chọn đáp án là C
Bài 6: Cho hàm số
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?
A. 1 B. 0 C. 1/4 D. -1/4
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có
Vậy chọn đáp án là C
Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x3 + 1 tại x = 2?
A. 10
B. 24
C. 22
D. 42
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có
Vậy chọn đáp án là B
Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
A. 1/2 B. -1/√2 C. 0 D. 3
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có f(0) = 0, do đó:
Vậy chọn đáp án là A
Bài 9: Hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?
Lời giải:
Đáp án: A
Vậy chọn đáp án là A
Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?
A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2
Lời giải:
Đáp án: D
Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:
Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập
Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải
Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình
Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.