Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem

Phương pháp giải Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Vi phân

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) và có đạo hàm tại $x\in (a;b)$. Giả sử $\Delta x$ là số gia của x sao cho $x+\Delta x\in (a;b)$.

- Tích $f\text{'}\left(x\right).\Delta x$ (hay $y.\Delta x$) được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ứng với số gia $\Delta x$, kí hiệu là df(x) hay dy.

Vậy ta có: $dy=y\text{'}.\Delta x$ hoặc $df\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right).\Delta x$.

b) Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x). Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’ hay f’’(x). Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’’ hay f’’’(x). Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp (n) của hàm số f(x), kí hiệu là y⁽ⁿ⁾ hay f⁽ⁿ⁾(x), tức là ta có: $y^{\left(n\right)}=\left(y^{(n-1)}\right)\text{'}(n\in N,n>1).$

c) Ý nghĩa của đạo hàm

- Ý nghĩa hình học

+ Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M₀ trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M₀ M là một cát tuyến của (C).

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M₀ M có vị trí giới hạn M₀T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M₀ thì đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M₀ . Điểm M₀ được gọi là tiếp điểm.

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại$x_0\in \left(a;b\right)$, gọi (C) là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của (C) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀))

Phương trình tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là: y = f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

- Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t₀.

v(t₀) = s’(t₀) = f’(t₀)

Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t₀ .

I(t₀) = Q’(t₀) = f’(t₀)

d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s = f(t) tại t là a(t) = f’’(t) .

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân của hàm số y = f(x) là: dy = f’(x)dx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm vi phân của hàm số

a) $y=x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}.$

b) $y=\sqrt{x^3+x}.$

c) $y=\frac{x^2-2x+5}{x+1}.$

Lời giải

a) $y=x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}.$ 

Ta có: $dy={\left(x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}dx=\left(2x+\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\right)dx$.

b) $y=\sqrt{x^3+x}.$ 

Ta có : $dy={\left(\sqrt{x^3+x}\right)}^{\text{'}}dx$$=\frac{{\left(x^3+x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^3+x}} dx$$=\frac{3x^2+1}{2\sqrt{x^3+x}} dx$.

c) $y=\frac{x^2-2x+5}{x+1}.$ 

Ta có $dy={\left(\frac{x^2-2x+5}{x+1}\right)}^{\text{'}}dx$$=\frac{(2x-2)(x+1)-\left(x^2-2x+5\right)}{{(x+1)}^2} dx$   $=\frac{x^2+2x-7}{\sqrt{x^2+3}} dx$.

Ví dụ 2: Tìm vi phân của hàm số

a) y = cos 3x.sin 2x.

b) $y=f\left(x\right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$.

Lời giải

a) y = cos 3x.sin 2x.

y’ = (cos 3x)’sin 2x + cos 3x(sin 2x)’

    = – 3sin 3x.sin 2x + 2cos 3x.cos 2x

Suy ra dy = (– 3sin3x.sin2x + 2 cos3x.cos2x)dx

b) $y=f\left(x\right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\right)$

Suy ra $dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\right)dx$

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Tính đạo hàm cấp 3 là đạo hàm của đạo hàm cấp 2

Tương tự: Tính đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:

a) y = xsin2x, (y’’’)

b) y = cos²x,  (y’’’)

c) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left(y^{\left(4\right)}\right)$

Lời giải

a) y = xsin2x, (y’’’)

Ta có y’ = x’sin 2x + x .(sin 2x)’ = sin 2x + 2xcos 2x

y’’ = (sin 2x)’ + (2x)’cos 2x + 2x(cos 2x)’ = 4cos2x – 4xsin 2x

y’’’ = 4(cos 2x)’ – (4x)sin 2x – 4x(sin 2x)’

     = – 8sin 2x – 4sin 2x – 8cos 2x

    = – 12sin 2x – 8cos 2x

b) y = cos²x,  (y’’’)

Ta có: $y={\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)$

y’ = – sin 2x

y’’ = – 2cos 2x

y’’’ = 4sin 2x

c) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left(y^{\left(4\right)}\right)$

$y=\frac{7}{{(x+2)}^2}$

$y\text{'}\text{'}=\frac{-7\left[{(x+2)}^2\right]\text{'}}{{(x+2)}^4}=\frac{-14}{{(x+2)}^3}$

$y\text{'}\text{'}\text{'}=\frac{14\left[{(x+2)}^3\right]\text{'}}{{(x+2)}^6}=\frac{42}{{(x+2)}^4}$

$y^{\left(4\right)}=\frac{-42\left[{(x+2)}^4\right]\text{'}}{{(x+2)}^8}=\frac{-168}{{(x+2)}^5}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

b) $y=\frac{1}{x+3}$

Lời giải

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

y’ = 4x³ + 12 x² – 6x

y’’ = 12x² + 24x – 6

y’’’ = 24 x + 24

y(4) = 24

Suy ra y(5) = 0, … y(n) = 0.

b) $y=\frac{1}{x+3}$

Ta có: $y\text{'}=\frac{-1}{{(x+3)}^2}=(-1)\frac{1!}{{(x+3)}^2};$

$y\text{'}\text{'}={(-1)}^2.\frac{1.2}{{(x+3)}^3}={(-1)}^2.\frac{2!}{{(x+3)}^3}$

Dự đoán: $y^n={\left(\begin{array}{l}-1\end{array}\right)}^n\frac{n!}{{(x+3)}^{n+1}}\left(1\right),\forall n\in N^{*}.$

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:

* n = 1: (1) hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là ta có: $y^{\left(k\right)}={(-1)}^k\frac{k!}{{(x+3)}^{k+1}}$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh: $y^{\left(k+1\right)}={(-1)}^{k+1}\frac{(k+1)!}{{(x+3)}^{k+2}}$ (2)

Thật vậy:

$y^{\left(k+1\right)}={\left[y^{\left(k\right)}\right]}^{\text{'}}={\left[{(-1)}^k\frac{k!}{{(x+3)}^{k+1}}\right]}^{\text{'}}$

$={(-1)}^{k+1}.\frac{k!}{{\left[{(x+3)}^{k+1}\right]}^2}.{\left[{(x+3)}^{k+1}\right]}^{\text{'}}$

$={(-1)}^{k+1}.\frac{k!(k+1)}{{(x+3)}^{k+2}}$$={(-1)}^{k+1}.\frac{(k+1)!}{{(x+3)}^{k+2}}$

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra $y^{\left(n\right)}={(-1)}^n.\frac{n!}{{(x+3)}^{n+1}},\forall n\in N^{*}.$

Dạng 3: Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

Phương pháp giải:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Để tính gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s = f(t) tại t:

- Đạo hàm f(t) đến cấp 2

- Gia tốc a(t) = f’’(t)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình: s = t³ – 3t² + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3.

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s"(3)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 5

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s².

Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 2t² + 4t + 1 trong đó t là giây, s là mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 2 là:

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 2s là s"(2)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 4

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

Dạng 4: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm của đạo hàm

Phương pháp giải:

Lưu ý hai kết quả sau để áp dụng:

-  Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là v(t₀) = s’(t₀).

- Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t) là I(t₀) = Q’(t₀).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t² + 4t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)

a) Tính đạo hàm của hàm số f(t) tại điểm t₀ .

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5.

Lời giải

a) Ta có: f’(t) = 2t + 4.

Vậy f’(t₀) = 2t­₀ + 4.

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = f’(5) = 2.5 + 4 = 14 (m/s).

Ví dụ 2: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10.

Lời giải

Vì Q’(t) = 6 nên cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10 là I  = Q’(10) = 6.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)² . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A. dy = 2(x – 1) dx                                                                  

B. dy = (x – 1)2dx    

C. dy = 2(x – 1)                                      

D. dy = 2(x – 1) dx

Câu 2. Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}$. Chọn câu đúng:

A. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$                   

B. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$    

C. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$                     

D. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$

Câu 3. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$. Vi phân của hàm số là:

A. $\text{d}y=\frac{\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$   

B. $\text{d}y=\frac{3\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$       

C. $\text{d}y=\frac{-3\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$       

D. $\text{d}y=-\frac{\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$

Câu 4. Cho hàm số f(x) = x³ + 2x, giá trị của f’’(1) bằng

A. 6                     

B. 8                         

C. 3                         

D. 2

Câu 5. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$. Tính f’’(– 1).

A. $-\frac{8}{27}$               

B. $\frac{2}{9}$                       

C. $\frac{8}{27}$                   

D. $-\frac{4}{27}$

Câu 6. Cho hàm số f(x) = cos2x. Tính $P={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\pi \right)$.

A. P = 4               

B. P = 0                   

C. P = – 4              

D. P = – 1

Câu 7. Cho hàm số: $y=\frac{2x+4}{x^2+4x+3}$. Phương trình y’’ = 0 có nghiệm là:

A. x = -4              

B. x = – 2               

C. x = 0                   

D. x = 2

Câu 8. Cho hàm số y = sin 2x. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y2 – (y’)2 = 4                                    

B. 4y + y’’ = 0       

C. 4y – y’’ = 0                                     

D. y = y’.tan 2x

Câu 9. Cho hàm số y = sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $2y^{\text{'}}+y^{\text{'}\text{'}}=\sqrt{2}\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$                

B. 2y + y’. tan x = 0

C. 4y- y’’ = 2                                       

D. 4 y’ + y’’’ = 0

Câu 10. Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}$. Tính f’’’(1).

A. 3                    

B. -3                        

C. $\frac{3}{2}$                        

D. 0

Câu 11. Đạo hàm cấp 21 của hàm số f(x) = cos (x + a) là

A. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=-\cos \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$                 

B. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=-\sin \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

C. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=\cos \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$                   

D. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=\sin \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

Câu 12. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t² + t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2 là

A. 5 (m/s)           

B. 6 (m/s)               

C. 7 (m/s)               

D. 4 (m/s)

Câu 13. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+4t$ trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Sau bao lâu thì chuyển động dừng lại?

A. 1 (s)                

B. 3 (s)                    

C. 2 (s)                    

D. 4 (s)

Câu 14. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 3t² + 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 1.

A. 5 (A)              

B. 12 (A)                 

C. 7 (A)                   

D. 4 (A)

Câu 15. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{2}{t}^3+6t^2$ với t (giây)là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 24 (m/s)          

B. 108 (m/s)           

C. 64 (m/s)              

D. 18 (m/s)

Bảng đáp án