Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

385

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024  gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Các công thức đạo hàm

Đạo hàm các hàm số cơ bản

Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)

(c)’ = 0 (c là hằng số)

(x)’ = 1

 

(xα)'=α.xα1

(1x)'=1x2;   x0(x)'=12x;   x>0

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tanx)'=1cos2x=1+tan2x

(cotx)'=1sin2x=(1+cot2x) 

(uα)'=α.u'.uα1

 

(1u)'=u'u2(u)'=u'2u

(sin u)’ = u’.cos u

(cos u)’ = -u’.sin u

(tanu)'=u'cos2u=u'.(1+tan2u)

(cotu)'=u'sin2u=u'.(1+cot2u)

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x)

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. (uv)'=u'vv'uv2(v=v(x)0)

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) (1v)'=v'v2    (v=v(x)0)

Mở rộng:

(u1±u2±...±un)'=u1'±u2'±...±un'

(u.v.w)'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: yx'=yu'.ux'

Phương pháp giải:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: a) Cho f(x)=2x3+x2,g(x)=3x2+x+2. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

 b) Cho f(x)=3x+60x64x3+5. Giải phương trình f’(x) = 0.

c) Cho y = cos2x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.

Lời giải

a) Ta có f'(x)=(2x3+x2)'=6x2+1

g'(x)=(3x2+x+2)'=6x+1

Ta có: f'(x)>g'(x)6x2+1>6x+16x26x>06x(x1)>0x(;0)(1;+)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S=(;0)(1;+).

b) Ta có f'(x)=(3x+60x64x3+5)'=360x2+192x4

f'(x)=0360x2+192x4=0 (1)

Đặt t=1x2,(t>0)

(1)192t260t+3=0[t=14t=116

Với t=141x2=14x2=4x=±2

Với t=1161x2=116x2=16x=±4

Vậy f’(x) = 0 có 4 nghiệm x=±2x=±4.

c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x

Khi đó, phương trình có dạng:

 sin2x+cosx=0sin2x=cosx=sin(π2x)

 [2x=π2x+2kπ2x=ππ2+x+2kπ [x=π6+2kπ3x=π2+2kπ;k.

Vậy nghiệm của phương trình là x=π6+2kπ3;x=π2+2kπ,k.

Ví dụ 2: a) Cho y = tan x. Chứng minh y’ – y2 – 1 = 0.

b) Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0.

Lời giải

a) y'=(tan x)

Ta có: y’ – y2 – 1 = 1 + tan2x – tan2x – 1 = 0 (đpcm).

b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x.

Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y)

= x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)

= x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = 0 (đpcm).

2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số . Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:

A. x = 2.               

B. x = 1.                   

C. Vô nghiệm.         

D. x = – 1.

Câu 2. Cho hàm số , có đạo hàm là f’(x). Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:

A.             

B.                

C.                

D. 

Câu 3. Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm là y’. Để  thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A.                                              

B.             

 C.                            

D. 

Câu 4. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để  với .

A.                                      

B. 

C.                    

D. 

Câu 5. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1,  x2 thỏa mãn .

A.                  

B. 

C.                       

D. .

Câu 6. Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm là y’. Để  thì x nhận các giá trị nào sau đây?

A. Không có giá trị nào của x.              

B. 

C.                                              

D. R.

Câu 7. Cho hàm số . Giải bất phương trình f’(x) > 0.

A.          

B.                    

C.            

D. 

Câu 8. Cho hàm số f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x cubed over denominator x minus 1 end fraction. Phương trình f’(x) = 0 có tập nghiệm S là:

A. S equals open curly brackets 0 semicolon 2 over 3 close curly brackets.                                         

B. S equals open curly brackets negative 2 over 3 semicolon 0 close curly brackets.         

C. S equals open curly brackets 0 semicolon 3 over 2 close curly brackets.                                          

D. S equals open curly brackets negative 3 over 2 semicolon 0 close curly brackets.

Câu 9. Cho hàm số f open parentheses x close parentheses equals square root of x squared minus 2 x end root. Tập nghiệm S của bất phương trình f apostrophe open parentheses x close parentheses greater or equal than f open parentheses x close parentheses có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 0.                     

B. 1.                         

C. 2.                         

D. 3.

Câu 10. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. M = (– 3; 3).                                       

B. M equals left parenthesis negative infinity semicolon minus 3 right square bracket union left square bracket 3 semicolon plus infinity right parenthesis.

C. M = R.                                                

D. M equals left parenthesis negative infinity semicolon minus 3 right parenthesis union left parenthesis 3 semicolon plus infinity right parenthesis.

Câu 11. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017. Bất phương trình y’ < 0 có tập nghiệm là:

A. S = (– 1; 1).                                        

B. S equals left parenthesis negative infinity semicolon minus 1 right parenthesis union left parenthesis 1 semicolon plus infinity right parenthesis.

C. S equals left parenthesis 1 semicolon plus infinity right parenthesis.                                         

D. S equals left parenthesis negative infinity semicolon minus 1 right parenthesis.

Câu 12. Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – 3. Tìm x dể f’(x) > 0?

A. –1 <  x < 0.       

B. x < 0.                    

C. x > 0.                    

D. x < – 1.

Câu 13. Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3(m + 2)x2 – 6(m + 2)x + 1. Tập giá trị của m để y apostrophe greater or equal than 0 comma for all x element of R là

A. left square bracket 3 semicolon plus infinity right parenthesis.             

B. [-2; 0].                 

C. left square bracket 4 square root of 2 semicolon plus infinity right parenthesis.             

D. left square bracket 1 semicolon plus infinity right parenthesis.

Câu 14. Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + 1. Tìm ­a để phương trình f’(x) = 0 có nghiệm?

A. vertical line a vertical line less than square root of 5.             

B. vertical line a vertical line greater or equal than square root of 5.               

C. |a|>5.                    

D. |a|<5.

Câu 15. Cho hàm số f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator sin 3 x over denominator 3 end fraction minus cos x minus square root of 3 open parentheses sin x minus fraction numerator cos 3 x over denominator 3 end fraction close parentheses. Giải phương trình f’(x) = 0.

A. open square brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals pi over 12 plus k pi end cell row cell x equals negative fraction numerator 3 pi over denominator 8 end fraction plus k pi over 2 end cell end table left parenthesis k element of real numbers right parenthesis. close                        

B. open square brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative pi over 12 plus k pi end cell row cell x equals negative fraction numerator 3 pi over denominator 8 end fraction plus k pi over 2 end cell end table left parenthesis k element of real numbers right parenthesis. close

C. open square brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative pi over 12 plus k pi end cell row cell x equals fraction numerator 3 pi over denominator 8 end fraction plus k pi over 2 end cell end table left parenthesis k element of real numbers right parenthesis. close                          

D. open square brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals pi over 12 plus k pi end cell row cell x equals fraction numerator 3 pi over denominator 8 end fraction plus k pi over 2 end cell end table left parenthesis k element of real numbers right parenthesis close.

 Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

D

A

B

A

C

A

C

C

D

A

C

B

B

C

3. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hàm số y=tan⁡( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

 

Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2

A. x=π/3+kπ        B. x=π/6+kπ        C. x=kπ/2        D. x=kπ

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x

Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2

⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y= x3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x

Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3

⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥0

⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Điều kiện: x ≥0

Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là ;

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 10: Cho hàm số y= tan( x3 + 3x2+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?

A. x= 0        B. x = 2        C. x= -1        D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Điều kiện cos⁡( x3+3x2+3x+9)≠0

+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

+ Với x= -1 ta có: cos⁡( x3+3x2+3x+9)=cos⁡8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1

Chọn C.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập

Đánh giá

0

0 đánh giá