1. Lý thuyết

a) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-v^{\text{'}}u}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Mở rộng:

${\left(u_1\pm u_2\pm \mathrm{...}\pm u_n\right)}^{\text{'}}={u_1}^{\text{'}}\pm {u_2}^{\text{'}}\pm \mathrm{...}\pm {u_n}^{\text{'}}$

${\left(u.v.\text{w}\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}.v.\text{w}+u.v^{\text{'}}.\text{w}+u.v.$

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: ${y_x}^{\text{'}}={y_u}^{\text{'}}.{u_x}^{\text{'}}$

2. Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 sau:

a) y = 7 + x – x², với x₀ = 1

b) y = 3x² – 4x + 9, với x₀ = 1

Lời giải

a) y = 7 + x – x²

Ta có: y' = 1 – 2x

Vậy  y'(1) = 1 – 2. 1 = –1.

b) y = 3x² – 4x + 9

Ta có: y' = 6x – 4

Vậy y'(1) = 6.1 – 4 = 2.

Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x)

c) $y=x^2\sqrt{x}$

d) $y=\frac{2x+1}{1-3x}$

e) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$

Lời giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’

= (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3)

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

c) $y=x^2\sqrt{x}$

$y\text{'}={\left(x^2\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}={\left(x^2\right)}^{\text{'}}.\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}.x^2$

$=2x.\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.x^2$$=2x\sqrt{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{x}$$=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$.

d) $y=\frac{2x+1}{1-3x}$ 

$\Rightarrow y\text{'}={\left(\frac{2x+1}{1-3x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}\left(1-3x\right)-{\left(1-3x\right)}^{\text{'}}\left(2x+1\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\frac{2\left(1-3x\right)+3\left(2x+1\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$$=\frac{5}{{\left(1-3x\right)}^2}$.

e) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$ 

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{{\left(2x^2-4x+1\right)}^{\text{'}}\left(x-3\right)-{\left(x-3\right)}^{\text{'}}\left(2x^2-4x+1\right)}{{\left(x-3\right)}^2}$

$=\frac{\left(4x-4\right)\left(x-3\right)-\left(2x^2-4x+1\right)}{{\left(x-3\right)}^2}$$=\frac{2x^2-12x+11}{{\left(x-3\right)}^2}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

c) $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

e) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$

f) $y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

Lời giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .u^{\alpha -1}.u\text{'}$ (với u = x⁷ + x)

y' = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}$với u = 1 – 2x²

y' = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².

c) $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$

Bước đầu tiên sử dụng ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}$, với $u=\frac{2x+1}{x-1}$

$y\text{'}=3.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$$=3.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2.\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$=-\frac{9{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}.$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x²

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

e) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$. Sử dụng công thức ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}$ với u = 1 + 2x – x²

$y\text{'}=\frac{{\left(1+2x-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$.

f) $y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$. Sử dụng ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}$ được:

$y\text{'}=\frac{{\left(1+x\right)}^{\text{'}}\sqrt{1-x}-{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\text{'}}\left(1+x\right)}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$ 

$=\frac{\sqrt{1-x}-\frac{{\left(1-x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-x}}.\left(1+x\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(1+x\right)}{2\sqrt{1-x}.\left(1-x\right)}$$=\frac{3-x}{2\sqrt{1-x}\left(1-x\right)}$.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x² + 1. Giá trị f’(– 1) bằng:

A. 2                      

B. 6                          

C. – 4                       

D. 3

Câu 2. Cho hàm số f(x) = – 2x² + 3x xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:

A. – 4x – 3           

B. –4x + 3                

C. 4x + 3                  

D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x³)⁵ là:

A. y' = 5(1 – x³)⁴                                    

B. y' = –15x²(1 – x³)⁴

C. y' = –3(1 – x³)⁴                                  

D. y' = –5x²(1 – x³)⁴

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x² – x + 1)⁵ là:

A. 4(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                        

B. 5(x² – x + 1)⁴

C. 5(x² – x + 1)⁴(2x – 1)                        

D. (x² – x + 1)⁴(2x – 1)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=-2x^5+4\sqrt{x}$ bằng biểu thức nào dưới đây?

A. $-10x^4+\frac{1}{\sqrt{x}}$      

B. $-10x^4+\frac{4}{\sqrt{x}}$          

C. $-10x^4+\frac{2}{\sqrt{x}}$          

D. $-10x^4-\frac{1}{\sqrt{x}}$

Câu 6. Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có đạo hàm là:

A. y’ = 2               

B. $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$        

C. $y^{\text{'}}=-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}$       

D. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x^2+x+1}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{ax+b}{2\sqrt{x^2+x+1}}$. Khi đó a – b bằng:

A. a – b = 2          

B. a – b = –1            

C. a – b = 1              

D. a – b = –2

Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{x^2+x}{x-2}$ đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. y'(1) = –4         

B. y'(1) = –5             

C. y'(1) = –3            

D. y'(1) = –2

Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}.$ Tính y'(0) bằng:

A. $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{2}$         

B. $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{3}$              

C. y'(0) = 1              

D. y'(0) = 2

Câu 10. Hàm số $y=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{1-x}$ có đạo hàm là:

A. $y^{\text{'}}=\frac{-x^2+2x}{{\left(1-x\right)}^2}$.  

B. $y^{\text{'}}=\frac{x^2-2x}{{\left(1-x\right)}^2}$.        

C. y’ = -2(x – 2)       

D. $y^{\text{'}}=\frac{x^2+2x}{{\left(1-x\right)}^2}$

Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên $D=\left[0;+\infty \right)$ cho bởi $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$ có đạo hàm là:

A. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$     

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$         

C. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x}$        

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=x+\frac{\sqrt{x}}{2}$

Câu 12. Hàm số $f\left(x\right)={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$xác định trên $D=\left(0;+\infty \right)$. Đạo hàm của f(x)là:

A. $f\text{'}\left(x\right)=x+\frac{1}{x}-2$                                                                 

B. $f\text{'}\left(x\right)=x-\frac{1}{x^2}$

C. $f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$                                                                  

D. $f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}$

Câu 13. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+x+3}{x^2+x-1}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{ax+b}{{\left(x^2+x-1\right)}^2}.$ Khi đó a + b bằng:

A. a + b = –10      

B. a + b = 5              

C. a + b = –10          

D. a + b = –12

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = (x² + 1)(5 – 3x²) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx. Khi đó $T=\frac{a}{b}$ bằng:

A. – 1                   

B. –2                        

C. 3                          

D. – 3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x²(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx² + cx. Khi đó a + b + c bằng:

A. 31                    

B. 24                        

C. 51                        

D. 34

Bảng đáp án

5. Bài tập tự luyện