Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức phép vị tự (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức phép vị tự (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: điểm I cố định và một số thực k không đổi, $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho $\overrightarrow{IM\text{'}}=k\overrightarrow{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k và kí hiệu là V_(I,k) (I được gọi là tâm vị tự).

* Nhận xét:

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

- Phép vị tự tỉ số k = 1 chính là phép đồng nhất.

- Phép vị tự tâm I tỉ số k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm I.

- $M\text{'}=V_{\left(I;k\right)}\left(M\right)\iff M=V_{\left(I;\frac{1}{k}\right)}(M\text{'})$

* Tính chất:

- Biến đường thẳng không qua tâm vị tự đường thẳng song song với nó.

- Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

- Biến góc thành góc bằng với góc ban đầu.

- Biến tia thành tia.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

2. Công thức

Cho điểm M(x₀; y₀). Phép vị tự tâm I(a; b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ (x’; y’) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-a=k\left(x_0-a\right)\\ y\text{'}-b=k\left(y_0-b\right)\end{array}\right.$

Đối với phép vị tự tâm O biến M thành M’ thì $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}=k{x}_0\\ y\text{'}=k{y}_0\end{array}\right.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm I(1; 2) cố định và số thực k = 2.

a) Tìm ảnh A’ của điểm A(3; 4) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Lời giải

a) Ta có  V_{(1; 2)}(A) = A’(x’;y’)

nên $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(3-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(4-2\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=5\\ y\text{'}=6\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(5;6\right)$

Vậy tọa độ điểm A’(5;6).

b) Gọi đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2

Ta có: I không nằm trên đường thẳng d (vì 1 – 2.2 + 1 = -2)

Nên d’ song song với d. Khi đó phương trình d’ có dạng: x – 2y + c = 0  (c khác 1)

Lấy điểm $M\left(1;1\right)\in d$, ta có $V_{(I;2)}\left(M\right)=M’ \in d’$.

Tọa độ điểm M’(x’;y’): $\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_M-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_M-y_I\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(1-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(1-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=0\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(1;0\right)$

Vì $M\text{'}\in d$ nên 1 – 2.0 + c = 0, suy ra c = -1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)²  = 4. Tìm ảnh (C') của (C) qua phép vị tự tâm I(-1; 2), tỉ số k = 3?

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm A(1;2), kính R = 2.

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3 nên (C’) có bán kính R’ = 3.2 = 6 và tâm A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3.

Ta có A’(x’; y’) = V_(I;3)(A)

Tọa độ điểm A’:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}+1=3\left(1+1\right)\\ y\text{'}-2=3\left(2-2\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.\iff A\text{'}\left(5;2\right)\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x – 5)² + (y – 2)²  = 36.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm tọa độ A để điểm A’(1;5) là ảnh của A qua phép vị tự tâm I(1;3), k = -2. Tọa độ A là:

A. A(1;2)

B. A(1;7)

C. A(-1;-2)

D. A(-1;-7)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm ảnh d' của d qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{2}{3}$.

A. -3x + y – 9 = 0 

B. 3x – y – 10 = 0

C. 9x – 3y + 15 = 0

D. 9x – 3y + 10 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)²22 2 + (y + 1)²  =5. Tìm ảnh đường tròn (C') của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) và tỉ số k = - 2

A. x² + y² + 6x – 16y + 4 = 0

B. x² + y² – 6x + 16y – 4 = 0

C. (x + 3)² + (y – 8)² = 20

D. (x – 3)² + (y + 8)² = 20

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). BC cố định, I là trung điểm BC , G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi A di động trên (O) thì G di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự nào sau đây?

A. phép vị tự tâm A tỉ số k = $\frac{2}{3}$

B. phép vị tự tâm A tỉ số k = -$\frac{2}{3}$

C. phép vị tựu tâm I tỉ số k = $\frac{1}{3}$

D. phép vị tự tâm I tỉ số k = -$\frac{1}{3}$

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). điểm A cố định, dây BC có độ dài bằng R; G là trọng tâm tam giác ABC. Khi A di động trên (O) thì G di động trên đường tròn (O’) có bán kính bằng bao nhiêu?

Bài 6: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Tìm mệnh đề đúng:

A. Có duy nhất một phép vị tự biến d thành d’

B. Có đúng hai phép vị tự biến d thành d’

C. Có vô số phép vị tự biến d thành d’

D. Không có phép vị tự nào biến d thành d’

Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

Phép vị tự tâm G tỉ số -$\frac{1}{2}$ biến:

A. Điểm A thành điểm G      

B. Điểm A thành điểm D

C. Điểm D thành điểm A      

D. Điểm G thành điểm A

b) Phép vị tự tâm G tỉ số -$\frac{1}{2}$ biến tam giác ABC thành

A. Tam giác GBC      

B. Tam giác DEF

C. Tam giác AEF      

D. Tam giác AFE

c) Phép vị tự tâm G tỉ số -$\frac{1}{2}$ biến $\overrightarrow{AH}$ thành

A. $\overrightarrow{OD}$      

B. $\overrightarrow{DO}$

C. $\overrightarrow{HK}$      

D. $\overrightarrow{KH}$

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự H(1;2) tỉ số k = -3 điểm M(4;7) biến thành điểm M’ có tọa độ

A. M'(-13;-8)      

B. M'(8;13)

C. M'(-8;-13)      

D. M'(-8;13)

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x + y + 6 = 0. Qua phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 2, đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ có phương trình.

A. -3x + y - 6 = 0

B. -3x + y + 12 = 0

C. 3x - y + 12 = 0

D. 3x + y + 18 = 0

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường (C) có phương trình.

x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. Qua phép vị tự tâm H(1;3) tỉ số k = -2, đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’) có phương trình.

A. x² + y² + 2x - 30y + 60 = 0

B. x² + y² - 2x - 30y + 62 = 0

C. x² + y² + 2x - 30y + 62 = 0

D. x² + y² - 2x - 30y + 60 = 0

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxỵ cho đường tròn (C) có phương trình ${(x-3)}^2+{(y+1)}^2=9$

Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I (1; 2) tỉ số k = -2

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (có bán kính khác nhau). Một điểm M nằm trên đường tròn (O). Dựng đường tròn đi qua M và tiếp xúc với O và O’

Bài 4: Gọi A là giao hai đường đường tròn cắt nhau O và O’ Hãy dựng qua A một đường thẳng cắt hai đường tròn tại B và C sao cho AC = 2AB

Bài 5: Cho đường tròn (O; R). Có bao nhiêu phép vị tự biến (O; R) thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 6: Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) với $R\ne R\text{'}$?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 7: Có hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 8: Có hai đường thẳng song song d và d’ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Bài 9: Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy AB và CD thỏa mãn AB = 3CD. Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là?

A. 3

B. -3

C.

D.

Bài 10: Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự $V_{(I;-2)}$ thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu?

A. $\frac{1}{2}$

B. 2

C. 4

D. 8

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức phép đồng dạng

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải bài tập

Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải bài tập

Đường thẳng và mặt phẳng song song và cách giải bài tập

Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập