Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (Chân trời sáng tạo) Toán 7 hay, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức từ đó dễ dàng làm các bài tập Toán 7.

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (Chân trời sáng tạo) Toán 7

A. Lý thuyết Toán 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến - Chân trời sáng tạo

1. Phép cộng hai đa thức một biến

Để cộng hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép cộng.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện cộng theo cột.

Ví dụ: Cho M(x) = 6x² – 5x + 1 và N(x) = –3x² – 2x – 7. Hãy tính tổng của M(x) và N(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: M(x) + N(x) = 6x² – 5x + 1 + (–3x² – 2x – 7)

= 6x² – 5x + 1 – 3x² – 2x – 7

= (6x² –3x²) + (– 5x – 2x) + (1 – 7)

= 3x² – 7x – 6

Cách 2: Cộng theo cột dọc

$\frac{\begin{array}{c}{+}^{}M\left(x\right)=6x^2–5x+1\\ N\left(x\right)=–3x^2–2x–7\end{array}}{M\left(x\right)+N\left(x\right){=}^{}3x^2-7x-6}$

2. Phép trừ hai đa thức một biến

Để trừ hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1:Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép trừ.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện trừ theo cột.

Ví dụ: Cho P(x) = 9x² – 2x + 4 và Q(x) = –x² + 3x – 7. Hãy tính hiệu của P(x) và Q(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép tính.

P(x) + Q(x) = 9x² – 2x + 4 – (–x² + 3x – 7)

= 9x² – 2x + 4 + x² – 3x + 7

= (9x² + x²) + (– 2x – 3x) + (4 + 7)

= 10x² – 5x + 11

Cách 2: Đặt phép tính theo cột dọc.

$\frac{\begin{array}{c}\_P\left(x\right)=9x^2–2x+4\\ Q\left(x\right)=–x^2+3x-7\end{array}}{P\left(x\right)-Q\left(x\right)=10x^2-5x+11}$

3. Tính chất của phép cộng đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

-Tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính (2x – 1) + [(x² + 3x) + (2 – 2x)].

Hướng dẫn giải:

(2x – 1) + [(x² + 3x) + (2 – 2x)] = (2x – 1) + [(2 – 2x) + (x² + 3x)]

= [(2x – 1) + (2 – 2x)] + (x² + 3x)

= (2x – 1 + 2 – 2x) + (x² + 3x)

= 1 + (x² + 3x)

= x² + 3x + 1.

Bài tập Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 1. Cho hai đa thức f(x) = 3x² + 2x − 5 và g(x) = −3x² − 2x + 2. Tính h(x) = f(x) + g(x) và tìm bậc của h(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: h(x) = f (x) + g (x)

= (3x² + 2x− 5) + (−3x² − 2x + 2)

= 3x² + 2x − 5 − 3x² − 2x + 2

= (3x² − 3x²) + (2x − 2x) + (−5 + 2) = −3.

Vậy h(x) = −3 và bậc của h(x) là 0.

Bài 2:Cho hai đa thức f(x) = 5x⁴ + x³ − x² + 1 và g(x) = −5x⁴ − x² + 2.

Tính k(x) = f(x) − g(x) và tìm bậc của k(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: k(x) = f(x) − g(x)

= (5x⁴ + x³ − x² + 1) −(−5x⁴ − x² + 2)

= 5x⁴ + x³ − x² + 1 + 5x⁴ + x² − 2

= (5x⁴ + 5x⁴) + x³ + (−x² +x²) + (1 − 2)

= 10x⁴ + x³ – 1.

Vậy k(x) =10x⁴ + x³ − 1và bậc của k(x) là 4.

Bài 3. Cho f (x) = x⁵ − 3x⁴ + x² − 5 và g (x) = 2x⁴ +7x³ − x² + 6. Tính hiệu f(x) − g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) − g(x) = (x⁵ − 3x⁴ + x² −5) – (2x⁴ + 7x³ − x² + 6)

= x⁵ − 3x⁴ + x² − 5 – 2x⁴ – 7x³ + x² – 6

= x⁵ + (−3x⁴ − 2x⁴) – 7x³ + (x² + x²) + (− 5− 6)

= x⁵ − 5x⁴ − 7x³ + 2x² −11.

Vậy hiệu f(x) − g(x) và sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

11 + 2x² −7x³ − 5x⁴ + x⁵.

Bài 4: Tìm đa thức h(x) biết f(x) − h(x) = g(x).

Trong đó: f(x) = x² + x + 1; g(x) = 4 − 2x³ + x⁴ + 7x⁵.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) − h(x) = g(x).

Suy ra: h(x) = f(x)− g(x).

= (x² + x + 1) – (4 − 2x³ + x⁴ + 7x⁵)

= x² + x + 1 – 4 + 2x³ – x⁴ – 7x⁵

= −7x⁵− x⁴ + 2x³ + x² + x – 3.

Vậy h(x) = −7x⁵− x⁴+ 2x³ + x² + x – 3.

B. Trắc nghiệm Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Câu 1. Cho hai đa thức A(x) = x² − 5x + 7 và B(x) = 3x² − 2x + 10. Tính A(x) + B(x).

A. 3x² − 2x + 10;

B. 3x² − 2x + 10;

C. 4x² − 7x + 17;

D. −2x² − 3x + 10.

Đáp án đúng là: C

Ta có: A(x) + B(x) = (x² − 5x + 7) + (3x² − 2x + 10)

= x² − 5x + 7 + 3x² − 2x + 10

= (x² + 3x²) + (−5x − 2x) + (7 + 10)

= 4x² − 7x + 17.

Vậy A(x) + B(x) = 4x² − 7x + 17.

Câu 2. Cho hai đa thức P(x) = 6x³ − 3x² − 2x + 4 và G(x) = 5x² − 7x + 9. Tính P(x) − G(x).

A. x² − 9x +13;

B. 6x³ − 8x² + 5x −5;

C. x³ − 8x² + 5x −5;

D. 5x³ − 8x² + 5x +13.

Đáp án đúng là: B

Ta có: P(x) − G(x) = (6x³ − 3x² − 2x + 4) − (5x² − 7x + 9)

= 6x³ − 3x² − 2x + 4 − 5x² + 7x − 9

= 6x³ + (−3x² − 5x²) + (−2x + 7x) + (4 − 9)

= 6x³ − 8x² + 5x −5.

Vậy P(x) − G(x) = 6x³ − 8x² + 5x −5.

Câu 3. Cho đa thức U(x) = 7x² + 4x − 3. Tìm đa thức V(x) sao cho U(x) + V(x) = x³ + x² –5.

A. V(x) = x³ − 6x² − 4x − 2;

B. V(x) = 6x² − 4x − 2;

C. V(x) = x³ − 8x² + 5x +13;

D. V(x) = x³ − 6x² − 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: U(x) = 7x² + 4x − 3

Vì U(x) + V(x) = x³ + x² −5 nên

V(x) = x³ + x² − 5 − U(x)

= x³ + x² − 5 − (7x² + 4x − 3)

= x³ + x² − 5 − 7x² − 4x + 3

= x³ + (x² − 7x²) − 4x + (−5 + 3)

= x³ − 6x² − 4x – 2.

Vậy V(x) = x³ − 6x² − 4x – 2.

Câu 4. Cho hai đa thức G(x) = 2x + 7 và H(x) = 3x +6. Tính G(x) + H(x).

A. −x + 1;

B. 5x + 13;

C. 5x + 1;

D. x − 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: G(x) + H(x) = (2x + 7) + (3x +6)

= 2x + 7 + 3x +6 = (2x + 3x) + (6 + 7) = 5x + 13.

Vậy G(x) + H(x) = 5x + 13.

Câu 5. Cho đa thức G(x) = 3x⁴ − 4x³ − 2x + 27. Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) − G(x) = x³ − 5x² + 10.

A. 3x⁴ − 3x³ − 5x² + 2x + 37;

B. 3x⁴ + 3x³ − 5x² − 2x + 37;

C. − 3x³ − 5x² − 2x + 37;

D. 3x⁴ − 3x³ − 5x² − 2x + 37.

Đáp án đúng là: D

Ta có: G(x) = 3x⁴ − 4x³ − 2x + 27

Vì H(x) − G(x) = x³ − 5x² + 10 nên:

H(x) = x³ − 5x² + 10 + G(x)

= x³ − 5x² + 10 + (3x⁴ − 4x³ − 2x + 27)

= x³ − 5x² + 10 + 3x⁴ − 4x³ − 2x + 27

= 3x⁴ + (x³ − 4x³) − 5x² − 2x + (10 + 27)

= 3x⁴ − 3x³ − 5x² − 2x + 37.

Vậy H(x) = 3x⁴ − 3x³ − 5x² − 2x + 37.

Câu 6. Cho đa thức M(x) = 4x³ − 2x + 17. Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) − N(x) = − x⁴ − 4x² + 1.

A.x⁴ + 4x³ + 4x² − 2x +16;

B. −x⁴ + 4x³ + 4x² − 2x +16;

C. −x⁴ − 4x³ + 4x² − 2x +16;

D. x⁴ + 4x³ − 4x² − 2x +16.

Đáp án đúng là: A

Ta có: M(x) = 4x³ − 2x + 17

Vì M(x) − N(x) = − x⁴ − 4x² + 1 nên

N(x) = M(x) − (− x⁴ − 4x² + 1)

= 4x³ − 2x + 17 − (− x⁴ − 4x² + 1)

= 4x³ − 2x + 17 + x⁴ + 4x² − 1

= x⁴ + 4x³ + 4x² − 2x + (17 − 1)

= x⁴ + 4x³ + 4x² − 2x + 16

Vậy N(x) = x⁴ + 4x³ + 4x² − 2x +16.

Câu 7. Cho ba đa thức A(x) = x² − 3x +10; B(x) = 3x³ +16; C(x) = 2x⁴ − 4x² − 8x.

Tính A(x) + B(x) + C(x).

A. 2x⁴ + 3x³ − 3x² − 5x + 26;

B. 2x⁴ + 3x³ − 3x² − 11x +26;

C. 2x⁴ + 3x³ + 7x² − 11x +26;

D. x⁴ + 3x³ − 3x² − 11x +26.

Đáp án đúng là: B

Ta có: A(x) + B(x) = (x² − 3x +10) + (3x³ +16)

= x² − 3x +10 + 3x³ +16

= 3x³ + x² − 3x +(10 +16)

= 3x³ + x² − 3x + 26

Ta có: A(x) + B(x) + C(x) = (3x³ + x² − 3x + 26) + (2x⁴ − 4x² − 8x)

= 3x³ + x² − 3x + 26 + 2x⁴ − 4x² − 8x

= 2x⁴ + 3x³ + (x² − 4x²) + (−3x − 8x) +26

= 2x⁴ + 3x³ − 3x² − 11x +26.

Vậy A(x) + B(x) + C(x) = 2x⁴ + 3x³ − 3x² − 11x +26.

Câu 8. Cho ba đa thức A(x) = x² − 3x +10; B(x) = 3x³ +16; C(x) = 2x⁴ − 4x² − 8x.

Tính A(x) − B(x) − C(x).

A. −2x⁴ − 3x³ + 5x² + 5x − 6;

B. 2x⁴ + 3x³ − 3x² − 11x +26;

C. −2x⁴ − 3x³ − 3x² + 5x − 6;

D. −2x⁴ − 3x³ + 5x² − 11x − 6.

Đáp án đúng là: A

Ta có: A(x) − B(x) = (x² − 3x +10) − (3x³ +16)

= x² − 3x + 10 − 3x³ − 16

= − 3x³ + x² − 3x + (10 − 16)

= − 3x³ + x² − 3x – 6.

Khi đó: A(x) − B(x) − C(x)

= (−3x³ + x² − 3x − 6) − (2x⁴ − 4x² − 8x)

= −3x³ + x² − 3x − 6 − 2x⁴ + 4x² + 8x

= −2x⁴ − 3x³ + (x² + 4x²) + (−3x + 8x) − 6

= −2x⁴ − 3x³ + 5x² + 5x – 6.

Vậy A(x) − B(x) − C(x) = −2x⁴ − 3x³ + 5x² + 5x – 6.

Câu 9. Biểu thức biểu thị chu vi của hình thang vuông như hình bên dưới là:

A. x² + 6x + 4;

B. 2x² − 6x + 8;

C. 2x² + 2x + 8;

D. 2x² + 6x + 8.

Đáp án đúng là: D

Chu vi của hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy và hai cạnh bên. Khi đó:

P = (4x −2 + x² + 6) + (2x + 3 + x² + 1) (với P là chu vi của hình thang)

= 4x − 2 + x² + 6 + 2x + 3 + x² + 1

= (x² + x²) + (4x + 2x)+ (−2 + 6 + 3 + 1)

= 2x² + 6x +8.

Vậy chu vi của hình thang vuông trên được biểu thị bằng biểu thức 2x² + 6x +8.

Câu 10. Cho tam giác vuông (như hình bên dưới) có chu vi bằng 14x – 4. Tính cạnh BC của tam giác ABC.

A. 9x − 8;

B. 9x + 8;

C. 7x − 8;

D. 9x + 4.

Đáp án đúng là: A

Chu vi tam giác trên bằng tổng độ dài ba cạnh nên ta có:

P = AB + AC + BC (với P là chu vi của hình tam giác)

Suy ra BC = P − AB − AC

= 14x − 4 − (2x +3) − (3x+1)

= 14x − 4 − 2x − 3 − 3x − 1

= (14x − 2x − 3x) + (−4 − 3 − 1)

= 9x – 8.

Vậy BC = 9x – 8.

Xem thêm Lý thuyết các bài Toán 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 2: Đa thức một biến

Lý thuyết Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Lý thuyết Ôn tập Chương 7