Phương pháp giải bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (HAY NHẤT 2024)

Văn Thị Hòa Ngày: 28-08-2023 Tổng hợp kiến thức

162

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải bài tập định lí vi tích phân và ứng dụng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần ý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách giải các dạng bài tập định lí vi tích phân và ứng dụng từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Phương pháp giải bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (HAY NHẤT 2024)

I. Định lý cơ bản của Vi tích phân

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

1. Định lý cơ bản về vi phân

Cho f : [a;b] là hàm liên tục. Khi đó:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

2. Nhận xét:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Đẳng thức (*) không phụ thuộc vào nguyên hàm được chọn. Thật vậy, giả sử H là một nguyên hàm khác của f trên [a;b]; khi đó, theo định lý giá trung bình, ta nhận được H = F + C trên [a;b] với C là một hàm hằng số thực (có thể xem như hàm hằng), và:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

II. Một số hệ quả Định lý cơ bản của Vi tích phân

Hệ quả 1: Mọi hàm liên tục trên một đoạn thì có nguyên hàm trên đoạn đó.

Bài tập: Tính f'(0) với f(x) =

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Hệ quả 2: Nếu f có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì f(x) = f(a) + với mọi x [a;b]

Hệ quả 3: Cho hàm số u khả vi trên khoảng I và hàm số f liên tục trên khoảng K chứa {a}

Khi đó với mọi x I

Chứng minh:

Hệ quả 4: Cho hàm f : [a;b] thỏa f(x) với mọi x[a;b] và . Khi đó f(x) = 0 với mọi x[a;b].

Chứng minh:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Hệ quả 5: Cho hàm f : [a;b] liên tục và thỏa f(x) > 0 với mọi x[a;b]. Khi đó

Hệ quả 6: (Định lý giá trị trung bình cho tích phân) Cho hàm f liên tục trên [a;b]. Khi đó có số thực x(a;b) sao cho

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1) Chứng minh:

III. Một số ứng dụng của Định lý cơ bản của Vi tích phân

Bài toán 1: Cho hàm số f xác định và liên tục trên . Tìm giới hạn

Lời giải

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Bài toán 2: Cho f : [0;1] [0;1] là hàm liên tục trên [0;1] . Chứng minh rằng phương trình 2x - có duy nhất nghiệm trên [0;1]

Lời giải

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Bài toán 3: Tìm tất cả các hàm số thực f xác định và liên tục trên thỏa 2x - với mọi x

Lời giải

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Bài toán 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện

. Hãy chứng minh

Lời giải

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện:

$\int_{x}^{1} f (t) d t \geq \frac{1 - x^{2}}{2}, \forall x \in [0; 1]$ . Hãy chứng minh $\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{2} d x \geq \int_{0}^{1} x f (x) d x$

Lời giải:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

Bài 2: Cho hàm số liên tục f: [0;1] $\to$ [0;+ $\infty$ ] thỏa mãn điều kiện [f(x)]² $\leq$ 1 + 2 $\int_{0}^{x} f (t) d t$ với mọi x $\in [0; 1]$ . Chứng minh rằng: $\int_{0}^{x} f (t) d t \leq x + \frac{x^{2}}{2}, \forall x \in [0; 1]$

Lời giải:

50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

x $\in [0; 1]$ . Điều này tương đương $\sqrt{1 + 2 F (x)} - 1 \leq x$ với mọi x $\in [0; 1]$ . Chính vì thế, ta nhận được $\int_{0}^{x} f (t) d t \leq x + \frac{x^{2}}{2}, \forall x \in [0; 1]$