Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 9 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 9

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 9.22 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = cos²$\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)$. Đạo hàm f'(0) bằng

A. 1.

B. −1.

C. 2cos$\frac{\pi }{12}$.

D. -2cos$\frac{\pi }{12}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Có 

$=-4cos\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)\sin \left(2x+\frac{\pi }{12}\right)$$=-2\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)$.

$f^{\text{'}}\left(0\right)=-2\sin \left(4\cdot 0+\frac{\pi }{6}\right)=-1$.

Bài 9.23 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = -$\frac{1}{3}$x³+x²+3x - 1. Đạo hàm f'(x) > 0 khi

A. x < −1.

B. x > 3

C. −1 < x < 3

D. x > −1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+3x-1\right)}^{\text{'}}$ = −x² + 2x + 3.

Để f'(x) > 0 thì −x² + 2x + 3 > 0 $\iff$ (3 − x)(x + 1) > 0 $\iff$ −1 < x < 3.

Vậy f'(x) > 0 thì −1 < x < 3.

Bài 9.24 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số y = ln|1 – 2x| là

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Có y' = (ln|1 – 2x|)' = $\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}}{1-2x}$$=\frac{-2}{1-2x}$$=\frac{2}{2x-1}$ . Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2}{2x-1}$ .

Bài 9.25 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$ là

A. $3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2$ .

B. $-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^5}$ .

C. $-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$ .

D. $9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Có 

$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}\left(x-1\right)-\left(2x+1\right){\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{2\left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{2x-2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$$=-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$.

Vậy $y^{\text{'}}=-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$.

Bài 9.26 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}$ là

A. $y^{\text{'}}=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ .

B. $y^{\text{'}}=\frac{\sin 2x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ .

C. $y^{\text{'}}=\frac{2\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ .

D. $y^{\text{'}}=\frac{\sin x\cos x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$y^{\text{'}}={\left(\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+2{\sin }^{2}x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$$=\frac{4\sin x\cos x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

= $\frac{2\sin 2x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ = $\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$ .

Bài 9.27 trang 63 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số y = xsin²x là

A. y' = sin²x + 2xsinx.

B. y' = sin²x + xsin2x.

C. y' = sin²x + 2xcosx.

D. y' = sin²x + xcos2x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Có y' = (xsin²x)' = sin²x + x×(sin²x)' = sin²x + 2xsinxcosx = sin²x + xsin2x.

Vậy y' = sin²x + xsin2x.

Bài 9.28 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1+5g\left(x\right)}$ với g(0) = 3, g'(0) = −8. Đạo hàm f'(0) bằng

A. 10.

B. −8.

C. −5.

D. 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt{1+5g\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+5g\left(x\right)\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+5g\left(x\right)}}$$=\frac{5g^{\text{'}}\left(x\right)}{2\sqrt{1+5g\left(x\right)}}$.

Có $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{5g^{\text{'}}\left(0\right)}{2\sqrt{1+5g\left(0\right)}}=\frac{5\cdot \left(-8\right)}{2\sqrt{1+5\cdot 3}}=-5$ (do g(0) = 3, g'(0) = −8).

Vậy f'(0) = −5.

Bài 9.29 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = xsinx và g(x) = $\frac{\cos x}{x}$. Giá trị $\frac{f^{\text{'}}\left(1\right)}{g^{\text{'}}\left(1\right)}$ là

A. −1.

B. sin1 + cos1.

C. 1.

D. −sin1 − cos1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = (xsinx)' = sinx + xcosx, suy ra f'(1) = sin1 + cos1

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{\cos x}{x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\cos x\right)}^{\text{'}}x-\cos x\cdot {\left(x\right)}^{\text{'}}}{x^2}$$=\frac{-xs\text{inx}-\cos x}{x^2}$,

suy ra g'(1) = $\frac{-s\text{in1}-\cos 1}{1^2}$= -sin1 - cos1.

Do đó $\frac{f^{\text{'}}\left(1\right)}{g^{\text{'}}\left(1\right)}=\frac{s\text{in1+}\cos 1}{-s\text{in1}-\cos 1}$= -1.

Vậy $\frac{f^{\text{'}}\left(1\right)}{g^{\text{'}}\left(1\right)}=-1$.

Bài 9.30 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = x$e^{-\frac{x^2}{2}}$. Tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là

A. {1}.

B. {−1}.

C. {0; 1}.

D. {−1; 1}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)}^{\text{'}}$$=e^{-\frac{x^2}{2}}+x{e}^{-\frac{x^2}{2}}{\left(-\frac{x^2}{2}\right)}^{\text{'}}$$=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}$.

Để f'(x) = 0 thì $e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0$$\iff e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right)=0$$\iff 1-x^2=0$$\iff x=\pm 1$.

Bài 9.31 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = 2x³ + 3x – 1 và g(x) = 3(x² + x) + 2. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) < g'(x) là

A. (−$\infty$; 0).

B. (1; +$\infty$).

C. (−$\infty$; 0) $\cup$ (1; +$\infty$).

D. (0; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có f'(x) = (2x³ + 3x – 1)' = 6x² + 3.

g'(x) = [3(x² + x) + 2]' = 6x + 3.

Để f'(x) < g'(x) thì 6x² + 3 < 6x + 3 $\iff$ 6x² − 6x < 0 $\iff$ 6x(x − 1) < 0 $\iff$ 0 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f'(x) < g'(x) là (0; 1).

Bài 9.32 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Cho S(r) là diện tích hình tròn bán kính r. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. S'(r) là diện tích nửa hình tròn đó.

B. S'(r) là chu vi đường tròn đó.

C. S'(r) là chu vi nửa đường tròn đó.

D. S'(r) là hai lần chu vi đường tròn đó.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có S(r) = $\pi r^2$. Do đó S'(r) = ($\pi r^2$)' = 2$\pi$r là chu vi của đường tròn đó.

Bài 9.33 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x(x – 1)² + x² + 1 tại điểm A(−1; −2) có phương trình là

A. y = 6x + 4.

B. y = 6x − 4.

C. y = −2x − 4.

D. y = −2x + 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = [x(x – 1)² + x² + 1]' = (x – 1)² + 2x(x – 1) + 2x

= x² – 2x + 1 + 2x² – 2x + 2x = 3x² – 2x + 1.

Có y'(−1) = 3×(−1)² – 2×(−1) + 1 = 6.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x(x – 1)² + x² + 1 tại điểm A(−1; −2) có dạng: y = y'(−1)×(x + 1) – 2 = 6×(x + 1) – 2 = 6x + 6 – 2 = 6x + 4.

Vậy y = 6x + 4 là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.34 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-4x^2+5x+3$ với hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là

A. y = 3x − 25.

B. y = −3x + 25.

C. $y=-3x+\frac{25}{3}$.

D. $y=3x-\frac{25}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y' = ${\left(\frac{2}{3}{x}^3-4x^2+5x+3\right)}^{\text{'}}$ = 2x² – 8x + 5.

Có k = 2x² – 8x + 5 = 2(x² – 4x) + 5 = 2(x² – 4x + 4) – 3 = 2(x – 2)² – 3 $\ge$ − 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là −3 khi x = 2; y = $\frac{7}{3}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = -3(x-2)+$\frac{7}{3}$ = -3x+$\frac{25}{3}$.

Vậy y = -3x + $\frac{25}{3}$ là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.35 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1-2x}{x+2}$ tại điểm có hoành độ x = −1 là

A. k = 5.

B. k = 2.

C. k = −2.

D. k = −5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Có $y^{\text{'}}={\left(\frac{1-2x}{x+2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x+2\right)-\left(1-2x\right){\left(x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{-2\left(x+2\right)-\left(1-2x\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$$=\frac{-2x-4-1+2x}{{\left(x+2\right)}^2}$$=\frac{-5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1 là:

k = y'(-1) = $\frac{-5}{{\left(-1+2\right)}^2}$ = -5.

Vậy k = −5 là hệ số góc cần tìm.

Bài 9.36 trang 64 SBT Toán 11 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x³ + 6x² – 9x + 1 với hệ số góc lớn nhất có phương trình là

A. y = 3x – 5.

B. y = 3x – 7.

C. y = 3x + 5.

D. y = 3x + 7.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y' = (−x³ + 6x² – 9x + 1)' = −3x² + 12x – 9.

Có k = −3x² + 12x – 9 = −3(x² – 4x) – 9 = −3(x² – 4x + 4) + 3 = −3(x − 2)² + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là 3 khi x = 2; y = −1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 3(x – 2) – 1= 3x – 7.

Vậy y = 3x – 7 là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.37 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = (x² – x)e^−x. Giá trị f"(0) là

A. 4.

B. −4.

C. 0.

D. −1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = [(x² – x)e^−x]' = (2x −1)e^−x − (x² – x)e^−x = (−x² + 3x – 1)e^−x.

f"(x) = [(−x² + 3x – 1)e^−x]' = (−2x + 3)e^−x − (−x² + 3x – 1)e^−x = (x² – 5x + 4)e^−x.

Khi đó f"(0) = (0² – 5×0 + 4)e⁻⁰ = 4. Vậy f"(0) = 4.

Bài 9.38 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = e^xcosx. Đẳng thức đúng là

A. y" – 2y' – 2y = 0.

B. y" – 2y' + 2y = 0.

C. y" + 2y' – 2y = 0.

D. y" + 2y' + 2y = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Có y' = (e^xcosx)' = e^xcosx − e^xsinx

⇒ y' = y − e^xsinx ⇒ e^xsinx = y – y'.

y" = (e^xcosx − e^xsinx)' = e^xcosx − e^xsinx – (e^xsinx + e^xcosx) = −2e^xsinx = −2(y – y').

Do đó y" = −2(y – y') $\iff$ y" = −2y + 2y' $\iff$ y" – 2y' + 2y = 0.

Bài 9.39 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Độ cao (tính bằng mét) của một vật rơi tự do sau t giây là h(t) = 400 – 4,9t². Giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật khi nó chạm đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) là

A. 88,5 m/s.

B. 86,7 m/s.

C. 89,4 m/s.

D. 90 m/s.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = (400 – 4,9t²)' = −9,8t.

Khi vật chạm đất tức là h(t) = 0 $\iff$ 400 – 4,9t² = 0 $\iff$$t=\frac{20\sqrt{10}}{7}$ giây.

Giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật khi nó chạm đất là  $\approx$88,5 m/s.

Bài 9.40 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một vật có phương trình s = 5+ sin$\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. 4,5 cm/s².

B. 5,5 cm/s².

C. 6,3 cm/s².

D. 7,1 cm/s².

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 

$={\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}\cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$=0,8\pi \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Gia tốc của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 

$=-0,8^2{\pi }^2\sin \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Tại thời điểm vận tốc bằng 0 tức là $0,8\pi \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$.

Do ${\cos }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=1$ mà $\cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$ nên

${\sin }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=1$ $\iff$ = 1.

Giá trị tuyệt đối của gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

 = (0,8$\pi$)² $\approx$ 6,3cm/s².

Vậy giá trị tuyệt đối của gia tốc gần 6,3 cm/s².

Bài 9.41 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí của một vật chuyển động (tính bằng mét) sau t giây được xác định bởi s = t⁴ – 4t³ – 20t² + 20t, t > 0. Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s là

A. 140 m/s².

B. 120 m/s².

C. 130 m/s².

D. 100 m/s².

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s'(t) = 4t³ – 12t² – 40t + 20.

a(t) = v'(t) = 12t² – 24t – 40.

Thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s tức là 4t³ – 12t² – 40t + 20 = 20

$\iff$ 4t³ – 12t² – 40t = 0 $\iff$ t = 5 (thỏa mãn) hoặc t = 0 (loại) hoặc t = −2 (loại).

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là a(5) = 12.5² – 24.5 – 40 = 140 m/s².

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s là 140 m/s².

B. TỰ LUẬN

Bài 9.42 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y={\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^3$

b) y = 2^x + log₃(1 – 2x);

c) $y=\frac{1-2x}{x^2+1}$;

d) y = sin2x + cos²3x.

Lời giải:

a) y' = 

$=3{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=3{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(2x+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)$

$=6{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$/

Vậy $y^{\text{'}}=6{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$.

b) y' = [2^x + log₃(1 – 2x)]' = $2^x\ln 2+\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}}{\left(1-2x\right)\ln 3}$$=2^x\ln 2-\frac{2}{\left(1-2x\right)\ln 3}$.

Vậy $y^{\text{'}}=2^x\ln 2-\frac{2}{\left(1-2x\right)\ln 3}$.

c) $y^{\text{'}}={\left(\frac{1-2x}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x^2+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$=\frac{-2\left(x^2+1\right)-2x\left(1-2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$=\frac{-2x^2-2-2x+4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$=\frac{2x^2-2x-2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2x^2-2x-2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$.

d) y' = (sin2x + cos²3x)' = cos2x×(2x)' + 2cos3x×(cos3x)'

= 2cos2x – 6cos3xsin3x = 2cos2x – 3sin6x.

Vậy y' = 2cos2x – 3sin6x.

Bài 9.43 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x + $\sqrt{4+x^2}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm tập xác định của f'(x).

c) Tìm x sao cho f'(x) = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện 4 – x² $\ge$ 0 $\iff$ −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có f'(x) = (x+$\sqrt{4-x^2}$)' = 1 + $\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4-x^2}}$

$=1+\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}$$=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$$=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Điều kiện để f'(x) xác định là 4 – x² > 0 $\iff$ −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f'(x) là (−2; 2).

c) Có f'(x) = 0 thì $\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}=0$$\Rightarrow \sqrt{4-x^2}-x=0$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x$$\iff x=\sqrt{2}$.

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có $x=\sqrt{2}$ là giá trị cần tìm.

Bài 9.44 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) =  với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x^3+mx}{x}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-x^2+m\right)=m$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-1\right)=-1$.

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Bài 9.45 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + 3x + 1 (a $\in$ ℝ là tham số). Tìm a để f'(x) > 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

Có f'(x) = (x³ + ax² + 3x + 1)' = 3x² + 2ax + 3.

Để f'(x) > 0 với mọi x $\in$ ℝ thì 3x² + 2ax + 3 > 0 với mọi x $\in$ ℝ, điều này xảy ra khi và chỉ khi $∆$' = a² – 9 < 0 $\iff$ −3 < a < 3.

Vậy −3 < a < 3 là giá trị cần tìm.

Bài 9.46 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2x – 1 có đồ thị là đường cong (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1.

Lời giải:

Giả sử $M\left(x_0;x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\right)$ là điểm thuộc đồ thị (C).

Vì tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(x₀) = 2.

Có y'(x₀) = $3x_0^2-6x_0+2$.

Vì y'(x₀) = 2 nên $3x_0^2-6x_0+2=2$ $\iff 3x_0^2-6x_0=0$ $\iff$x₀ = 0 hoặc x₀ = 2.

+ Với x₀ = 0 thì M(0; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x − 1 trùng với đường thẳng đề cho nên M(0; −1) không thỏa mãn.

+ Với x₀ = 2 thì M(2; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) – 1 hay y = 2x – 5.

Vậy M(2; −1) là điểm cần tìm.

Bài 9.47 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 tại các giao điểm của nó với đồ thị hàm số y = 10 – x².

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x² là nghiệm của phương trình: (x² – 1)² – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – 2x² + 1 – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – x² – 12 = 0

$\iff$ (x² + 3)(x² – 4) = 0

$\iff$ x² – 4 = 0 (do x² + 3 > 0 với mọi x)

$\iff$ x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y' = [(x² – 1)² – 3]' = 2(x² – 1)(x² – 1)' = 4x(x² – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(2) = 4×2×(2² – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(−2) = 4×(−2)×[(−2)² – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.48 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật gắn trên lò xo chuyển động theo phương ngang trên một mặt phẳng nhẵn (H.9.1). Phương trình chuyển động của vật được cho bởi $x=8\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$, với t tính bằng giây và x tính bằng centimét. Tìm vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Vật chuyển động theo hướng nào tại thời điểm đó?

Lời giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = x'(t) = 

$=8.{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

$=8\sqrt{2}\pi cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là

a(t) = v'(t) = 

$=-8\sqrt{2}\pi \sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right).{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=-16{\pi }^2\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$v\left(5\right)=8\sqrt{2}\pi cos\left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx -10,5$ m/s.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$a\left(5\right)=-16{\pi }^2\sin \left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx 150,8$ m/s².

Tại thời điểm đó vật đang chuyển động theo hướng từ phải sang trái (hướng tới vách chắn cố định).