Chứng minh rằng hàm số $g(x) = \frac{x}{{x - 1}}$ nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là $\left( {1;1;10} \right)$, $\left( {4;3;1} \right)$,$\left( {3;2;5} \right)$ và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình $x + my + nz + p = 0$. Giá trị của$m + n + p$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;4;1} \right),B\left( { - 1;1;3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 3y + 2z - 5 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A,B$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình dạng $ax + by + cz + 11 = 0$. Tính $a + b + c$.

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P\left( x \right)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm $P'\left( x \right)$, gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng/tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P'\left( x \right) = 16 - 0,02x$ với $0 \le x \le 100$. Tính lợi nhuận (triệu đồng) nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Một gia đình muốn làm cánh cổng (như hình vẽ). Phần phía trên cổng có hình dạng là một parabol với $IH = 2,5{\rm{m}}$, phần phía dưới là một hình chữ nhật kích thước cạnh là $AD = 4{\rm{m}}$, $AB = 6{\rm{m}}$. Giả sử giá để làm phần cổng được tô màu là 1000000 đồng/m² và giá để làm phần cổng phía trên là 1200000 đồng/m². Số tiền tổng cộng gia đình cần trả là bao nhiêu triệu đồng?

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx = 2025}$. Tính $\int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} dx$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}},f\left( 0 \right) = 2,f\left( 4 \right) = 3$. Tính giá trị của biểu thức $f\left( { - 2} \right) + f\left( 2 \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + 2y - 4z + 1 = 0$.

a) $\overrightarrow n = \left( {3;2; - 4} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

b) $A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ là một điểm nằm trên $\left( P \right)$.

c) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $B\left( {1;2;3} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $3x + 2y - 4z + 5 = 0$.

d) $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = 2$.

Cho đồ thị hàm số $y = {e^x}$ và hình được tô màu như dưới

a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi 3 đường.

b) Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức $S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx}$.

c) Diện tích hình phẳng $S = e - \frac{1}{e}$.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục $Ox$ là $V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)$.

Cho $\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = - 4$ và $\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 3$.

a) $\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = - 4$.

b) $\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx} = 12$.

c) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = - 7$.

d) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3x} \right]dx} = - 10$.

Biết $F\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

a) $F\left( 1 \right) = 0$.

b) $\int {F\left( x \right)dx} = 3{x^2} - 6x + 2$.

c) $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2$.

d) Nếu $G\left( x \right)$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thì $F\left( x \right) = G\left( x \right)$.

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 1;x = 3$ quay quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính theo công thức nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;2} \right)$ và cắt tia $Oy$ tại điểm $C$ sao cho thể tích khối chóp $OABC$ bằng 2. Biết điểm $S\left( { - 1;6;m} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ thì $m$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $M,N,P$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 3;1} \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ có dạng $ax + by + cz - 12 = 0$. Tính $a + b + c$.

Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích $200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$. Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên là bao nhiêu triệu đồng?

Hằng ngày anh An đi làm bằng xe máy trên cùng một cung đường từ nhà đến cơ quan mất 15 phút. Hôm nay khi đang di chuyển trên đường với vận tốc ${v_0}$ thì bất chợt anh gặp một chướng ngại vật nên anh đã hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$. Biết rằng tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật (trước khi hãm phanh 2 giây) và quãng đường anh đã đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là 35,5 m. Tính ${v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x$ và thỏa mãn $F\left( \pi \right) = 1$. Phương trình $F\left( x \right) = 1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm trong đoạn $\left[ {0;3\pi } \right]$?

Biết $\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = a + 2\ln b}$, với $a,b \in \mathbb{Z}$. Tính $a + b$.