Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {{z^2} + 2iz} \right|$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {mx + 1}  - 1}}{x}{\rm{\;khi\;}}x \ne 0}\\{\frac{n}{{30}}\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 0}\end{array}} \right.$.

Biết hàm số liên tục tại $x = 0$.

Khi đó $\frac{n}{m} =$_______

Một cái cổng hình parabol có dạng $y =  - \frac{1}{2}{x^2}$ có chiều rộng $d = 4m$.

Tính chiều cao $h$ của cổng (xem hình minh họa)

Cho 2 số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{2}{b}$.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)$ được viết dưới dạng $x - y{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}z$ với $x,y,z$ đều là các số thực dương lớn hơn 2.

Khi đó tổng $x + y + z$ có giá trị bằng _______.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 4$. Hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ lần lượt tại các tiếp điểm $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ biểu diễn dưới dạng $\frac{{a\sqrt b }}{3}$.

Những khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón hợp với đáy một góc 60⁰.

Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tỉ lệ thể tích giữa phần lớn và phần nhỏ bằng 8. Thể tích cát (lấy gần đúng đến hàng đơn vị) để đổ đầy phần nhỏ của đồng hồ cát bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Biết $AB = 1$, góc giữa $A'C$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Kéo các ô sau đây thả vào vị trí thích hợp để được phát biểu đúng

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng _______.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C′.ABB′A′ là _______.

Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc, trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn bất kì lên trao thưởng. Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 là

Cho đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1$ sao cho ${\rm{\Delta }}$ đi qua điểm $M\left( {0;1} \right)$.

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

Khi đó, có ______ đường thẳng Δ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành 2 đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng

Đọc các khẳng định sau:

Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Đánh số trang của một quyển sách từ trang 1 đến trang 2023.  

Cần dùng _______ chữ số để đánh số trang của quyển sách đó.

Số học sinh khối 12 của một trường học là một số có ba chữ số và khi yêu cầu các em học sinh này xếp thành 16 hàng, 20 hàng hoặc 24 hàng đều nhau thì vừa đủ.

Cho tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối nón xoay được tạo thành  khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng:

Cho $a < b < c$, và hàm số $f\left( x \right)$ có xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right) = {\rm{sin}}2x$. Biết $F\left( 0 \right) = 1$.

Điền các đáp án vào các ô trống sau:

$F\left( \pi  \right) =$_______

$F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \frac{1}{2}F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =$ _______

Điền số thích hợp vào chỗ trống:có tất cả

Số 70560 có tất cả _______ ước nguyên dương.

Cho $1,\,\,x,\,\,9,\,\,y$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Khi đó: x = _______; y = _______ 

Giá trị của tổng $S = 1 + 11 + 111 +  \ldots  + \underbrace {111...1}_{n\,\,s\`e \,\,1}$ là

Cho hàm số $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 15}}{{x - 2}} = 3.{\rm{\;}}$

Tính $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 15}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left[ {\sqrt {2f\left( x \right) + 6}  + 4} \right]}}$.

Đáp án: _______

Cho hàm số $y = 7 - 2{\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Giá trị lớn nhất của hàm số là _______

Bạn A có 4 lego và 3 hộp bút để trang trí bàn học. Bạn A muốn xếp chúng thành 1 hàng ngang thẳng hàng sao cho lego và hộp bút xen kẽ nhau.

Hỏi bạn A có bao nhiêu cách xếp?

Đáp án: _______ 

Phương trình ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m$ thuộc khoảng:

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 6;\,\,\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = 3}$.

Tính $\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án: _______

Cho hàm số $y = f\left( x \right)\;$ và $y = g\left( x \right)\;$ xác định và có đạo hàm trên các khoảng (a;b) và (c,d)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?