Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Lý thuyết Phép nhân đa thức một biến (Cánh Diều) Toán 7 hay, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức từ đó dễ dàng làm các bài tập Toán 7.
Lý thuyết Phép nhân đa thức một biến (Cánh Diều) Toán 7
A. Lý thuyết
1. Nhân đơn thức với đơn thức
– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:
+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;
+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:
axm. bxn = a.b. xm. xn = abxm + n.
Ví dụ: Tính:
a) 3x2. 5x6;
b) – 4x3. 4x2;
c) 2xm + 2. xn – 2 (m, n ∈ ℕ, n > 2).
Hướng dẫn giải
a) 3x2. 5x6 = 3.5. x2. x6 = 15x2 + 6 = 15x8;
b) – 4x3. 4x2 = – 4.4. x3. x2 = –16x3 + 2 = –16x5;
c) 2xm + 2. xn – 2 = 2. xm + 2. xn – 2 = 2xm + 2 + n – 2 = 2xm + n.
2. Nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A(B + C) = AB + AC
A(B – C) = AB – AC
Ví dụ: Tính:
a) x(2x + 1);
b) –2x2(2x2 + 2x – 1);
c) –2x3(x2 + 3x – 5).
Hướng dẫn giải
a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x2 + x;
b) –2x2(2x2 + 2x – 1)
= –2x2.2x2 –2x2.2x –2x2.(–1)
= –4x4 – 4x3 + 2x2;
c) –2x3(x2 + 3x – 5)
= –2x3.x2 –2x3.3x – 2x3.(–5)
= –x5 – 6x4 + 10x3.
3. Nhân đa thức với đa thức
– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
– Tích của hai đa thức là một đa thức.
– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6).
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6)
= 4x(2x2 – 5x + 6) – 3(2x2 – 5x + 6)
= 4x.2x2 – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x2 – 3.(–5x) – 3.6
= 8x3 – 20x2 + 24x – 6x2 + 15x – 18
= 8x3 – 26x2 + 39x – 18
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.
Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) theo cột dọc.
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = (2x2 – 5x + 6).(4x – 3)
Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25);
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1).
Hướng dẫn giải
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25)
= y2.0,5y3 + y2.2y2 – y2.y + y2.0,25
= 0,5y5 + 2y4 – y3 + 0,25y2
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1)
= 2x.3x + 2x.1 – 3.3x – 3.1 – [x.6x – x.1 + 2.6x + 2.(–1)]
= 6x2 + 2x – 9x – 3 – 6x2 + x – 12x + 2
= (6x2 – 6x2) + (2x – 9x + x – 12x) + (– 3 +2)
= –18x – 1.
Bài 2. Một hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy là x + 3 (cm), chiều rộng đáy nhỏ hơn chiều dài đáy 5 cm và chiều cao là x + 2 (cm). Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải
Chiều rộng hình hộp chữ nhật là: x + 3 – 5 = x – 2 (cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
V = (x + 3)(x – 2)(x + 2)
= (x.x – 2.x + 3.x – 3.2)(x + 2)
= (x2 + x – 6)(x + 2)
= x2.x + x2.2 + x.x + x.2 – 6.x – 6.2
= x3 + 2x2 + x2 + 2x – 6x – 12
= x3 + 3x2 – 4x – 12
Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: x3 + 3x2 – 4x – 12 (cm3).
Bài 3. Cho đa thức P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2, với a là một số.
a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Hướng dẫn giải
a) P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2
= x2.x2 – x2.x – x2.1 + 3x.x + 3x.a + 2
= x4 – x3 – x2 + 3x2 + 3ax + 2
= x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2
Vậy P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
b) Ta có P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
Hệ số của x4 là 1;
Hệ số của x3 là –1;
Hệ số của x2 là 2;
Hệ số của x là 3a;
Hệ số tự do là 2.
Tổng các hệ số của P(x) là:
1 + (–1) + 2 + 3a + 2 = 3a + 4.
Mà theo bài tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Khi đó: 3a + 4 = 10
Do đó 3a = 6
Vậy a = 2.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tích 2x(x + 1) có kết quả bằng:
A. 2x2 + 2x;
B. 2x2 – 2x;
C. 2x + 2;
D. 2x2 – 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: 2x(x + 1)
= 2x.x + 2x.1
= 2x2 + 2x.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Biết 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84. Giá trị của x là:
A. x = 4;
B. x = 4,5;
C. x = 5;
D. x = 5,5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84
Suy ra 10x − 5 − 32 + 12x = 84
10x + 12x = 84 + 5 + 32
22x = 121
x = 5,5
Vậy x = 5,5.
Ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6). Chọn kết luận đúng.
A. B ⁝ 10 với mọi m ∈ ℤ;
B. B ⁝ 15 với mọi m ∈ ℤ;
C. B ⁝ 9 với mọi m ∈ ℤ;
D. B ⁝ 20 với mọi m ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)
= m.m + m.6 – (1.m + 1.6) – (m.m – m.6 + 1.m – 1.6)
= m2 + 6m – m – 6 – (m2 – 6m + m – 6)
= m2 + 5m – 6 – m2 + 6m – m + 6
= (m2 – m2) + (5m + 6m – m) + (–6 + 6)
= 10m
Nhận thấy 10 ⁝ 10
Do đó 10m ⁝ 10
Nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.
Ta chọn phương án A.
Xem thêm các bài lý thuyết Toán 7 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến
Lý thuyết Bài 5. Phép chia đa thức một biến
Lý thuyết Bài 1. Tổng ba góc của một tam giác
Lý thuyết Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.