Với Giải trang 34 Tập 2 SBT Toán lớp 11 trong Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 34 Tập 2 (Cánh Diều)

Bài 1 trang 33 SBT Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của x^–7 là:

A. x ∈ R;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Từ định nghĩa phép tính lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Ta thấy n = 7 ∈ ℕ* nên điều kiện xác định của $x^{-7}=\frac{1}{x^7}$ là x ≠ 0.

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của $\sqrt[5]{x^3}$ là:

A. x ∈ R;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thấy n = 5 là số lẻ nên điều kiện xác định của $\sqrt[5]{x^3}$ là x³ ∈ ℝ hay x ∈ ℝ.

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của $\sqrt[8]{x^3}$ là:

A. x ∈ R;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta thấy n = 8 là số chẵn nên điều kiện xác định của $\sqrt[8]{x^3}$ là x³ ≥ 0 hay x ≥ 0.

Bài 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là:

A. x ∈ R;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta thấy: $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là: x > 0.

Bài 5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị của biểu thức $P=2^{1-\sqrt{2}}\cdot 2^{3+\sqrt{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}}$ bằng:

A. 128;

B. 64;

C. 16;

D. 32.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$P=2^{1-\sqrt{2}}{.2}^{3+\sqrt{2}}{.4}^{\frac{1}{2}}=2^{1-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}.{\left(2^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

$=2^4{.2}^{2\cdot \frac{1}{2}}=2^4{.2}^1=2^{4+1}=2^5=32.$

Bài 6 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu a > 1 thì:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Do $\sqrt{3}<\sqrt{5}$ và với a > 1 nên $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{5}}$ hay $\frac{1}{a^{\sqrt{3}}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}.$

Mà $\frac{1}{a^{\sqrt{3}}}=a^{-\sqrt{3}}$ nên $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}.$

Bài 7 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^{a-1}<2+\sqrt{3}$ thì:

A. a > 0;

B. a > 1;

C. a < 1;

D. a < 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Bài 8 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$ thì:

A. a > 1;

B. a < 1;

C. 0 < a < 1;

D. a > 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ suy ra 0 < a < 1.

Vậy nếu $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$ thì 0 < a < 1.

Bài 9 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Biểu thức$P=\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}$với x > 0 được rút gọn bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Bài 10 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Biểu thức $Q=a^{\sqrt{3}}.{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{3}-1}$với a > 0 được rút gọn bằng:

A. >$\frac{1}{a};$

B. a³;

C. a;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $Q=a^{\sqrt{3}}.{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{3}-1}=a^{\sqrt{3}}.{\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{3}-1}$

$=a^{\sqrt{3}}.a^{\left(-1\right).\left(\sqrt{3}-1\right)}=a^{\sqrt{3}}.a^{1-\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a.$

Bài 11 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) $A=\sqrt[7]{3.\sqrt[5]{\frac{1}{3}}}$ với a = 3;

b) $B=\frac{25\sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}$với $a=\sqrt{5}.$

Lời giải:

a) $A=\sqrt[7]{3.\sqrt[5]{\frac{1}{3}}}=\sqrt[7]{3.\sqrt[5]{3^{-1}}}=\sqrt[7]{{3.3}^{-\frac{1}{5}}}$

$=\sqrt[7]{3^{1-\frac{1}{5}}}=\sqrt[7]{3^{\frac{4}{5}}}=3^{\frac{4}{5}:7}=3^{\frac{4}{5}.\frac{1}{7}}=3^{\frac{4}{35}}.$

Viết biểu thức A về lũy thừa cơ số a = 3 ta được $A=a^{\frac{4}{35}}.$

b) $B=\frac{25\sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}=\frac{5^2\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{5^3}}=\frac{5^{2+\frac{1}{3}}}{5^{\frac{3}{2}}}=\frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{3}{2}}}$

$=5^{\frac{7}{3}-\frac{3}{2}}=5^{\frac{5}{6}}={\left[{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right]}^{\frac{5}{6}}={\left(\sqrt{5}\right)}^{2.\frac{5}{6}}={\left(\sqrt{5}\right)}^{\frac{5}{3}}.$

Viết biểu thức B về lũy thừa cơ số $a=\sqrt{5}$ ta được $B=a^{\frac{5}{3}}.$

Bài 12 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

Lời giải:

a) Do $0<\sqrt{3}-1<1$ và $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ nên ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt{3}}.$

Suy ra: a > b.

b) Ta có: $a={\left(\sqrt{2}-1\right)}^{\pi }={\left[\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}\right]}^{\pi }$

$={\left(\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}\right)}^{\pi }={\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)}^{\pi }={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{-\pi }.$

Do $\sqrt{2}+1>1$ và –π < e nên ta có:

${\left(\sqrt{2}+1\right)}^{-\pi }<{\left(\sqrt{2}+1\right)}^e\iff {\left(\sqrt{2}-1\right)}^{\pi }<{\left(\sqrt{2}+1\right)}^e.$

Suy ra: a < b.

c) Ta có: $a=\frac{1}{3^{400}}={\left(\frac{1}{3^4}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}$ và $b=\frac{1}{4^{300}}={\left(\frac{1}{4^3}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}.$

Do 100 > 0 và $\frac{1}{81}<\frac{1}{64}$ nên ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}\iff \frac{1}{3^{400}}<\frac{1}{4^{300}}.$

Suy ra: a < b.

d) Ta có:

$a=\frac{8}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2^3}{\sqrt[4]{3^3}}=\frac{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}{\sqrt[4]{3^3}}$$=\frac{\sqrt[4]{{16}^3}}{\sqrt[4]{3^3}}=\frac{{16}^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{4}}}={\left(\frac{16}{3}\right)}^{\frac{3}{4}}.$

Do $\frac{16}{3}>\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ và $\frac{3}{4}>0$ nên ${\left(\frac{16}{3}\right)}^{\frac{3}{4}}>{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}\iff \frac{8}{\sqrt[4]{27}}>{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}.$

Suy ra: a > b.