Với Giải Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 8 Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là hình chiếu của S trên (ABCD), SO = a

Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là hình chiếu của S trên (ABCD), SO = a. Gọi M là hình chiếu của O trên CD (Hình 49).

a) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt sau đây?

A. (SAB);

B. (SAD);

C. (SBC);

D. (SBD).

b) Số đo của góc nhị diện [A, SO, M] bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 135°;

D. 150°.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC bằng:

A. a;

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2};$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

d) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. a³;

B. $\frac{a^3}{2};$

C. $\frac{a^3}{3};$

D. 3a³.

e) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SOM) bằng:

A. a;

B. $\frac{a}{2};$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2};$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

g) Côtang của góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng:

A. $\frac{1}{2};$

B. 2;

C. 1;

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: D

Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.

Suy ra AC ⊥ BD.

Lại có O là hình chiếu của S trên (ABCD) hay SO ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO, BD ∩ SO = O trong (SBD)

Từ đó ta có AC ⊥ (SBD).

b) Đáp án đúng là: C

Ta có: SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) và OA ⊂ (ABCD).

Nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OM.

Mà OA ∩ OM = O ∈ SO.

Do đó, là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SO, M].

Xét tam giác ACD có: O, M lần lượt là trung điểm của AC và CD.

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên OM // AD và $OM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}.$

Từ đó ta có: $\widehat{DOM}=\widehat{ADO}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{ADO}=45°$ (do ABCD là hình vuông) nên $\widehat{DOM}=45°.$

Theo câu a ta có AC ⊥ BD nên $\widehat{AOD}=90°.$

Như vậy: $\widehat{AOM}=\widehat{AOD}+\widehat{DOM}=90°+45°=135°.$

Số đo của góc nhị diện [A, SO, M] bằng 135°.

c) Đáp án đúng là: B

Gọi N là trung điểm của BC.

Vì ABCD là hình vuông, AC cắt CD tại O nên ta có $OB=OC=OD=OA=\frac{AC}{2}.$

Từ đó ta có tam giác BOC cân tại O.

Mặt khác ON là đường trung tuyến trong tam giác BOC (do N là trung điểm của BC).

Suy ra ON ⊥ BC.

Lại có: SO ⊥ (ABCD), ON ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ ON.

Ta thấy: ON ⊥ BC, ON ⊥ SO hay ON là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và BC.

Như vậy: d(SO, BC) = ON.

Xét tam giác ABC có: O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác ABC nên $ON=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$

Vậy $d\left(SO,BC\right)=\frac{a}{2}.$

d) Đáp án đúng là: C

Thể tích của khối chóp S.ABCD có đường cao SO = a, diện tích đáy S_ABCD = a² là:

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}{a}^2.a=\frac{a^3}{3}.$

e) Đáp án đúng là: B

Ta có: SO ⊥ (ABCD), CM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CM.

Do M là hình chiếu của O trên CD nên OM ⊥ CD hay OM ⊥ CM.

Ta có: CM ⊥ SO, CM ⊥ OM, SO ∩ OM = O trong (SOM)

Suy ra CM ⊥ (SOM).

Như vậy: d(C, (SOM)) = CM.

Theo câu c ta có: OC = OD nên suy ra tam giác OCD cân tại O.

Mà OM ⊥ CD hay ta có OM là đường trung tuyến của tam giác OCD.

$\Rightarrow CM=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}.$

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SOM) bằng $\frac{a}{2}.$

g) Đáp án đúng là: A

Do O là hình chiếu của S trên (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SM và OM và bằng $\widehat{AMO}.$

Xét tam giác SOM vuông tại O (do SO ⊥ OM) có:

$\cot \widehat{SMO}=\frac{OM}{SO}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}.$

Vậy côtang của góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng $\frac{1}{2}$