Lý thuyết Đạo hàm (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết

Lý thuyết Đạo hàm (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Trần Thị Thùy Linh Ngày: 23-02-2024 Lớp 11

237

Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Đạo hàm (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Đạo hàm (Chân trời sáng tạo) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

A. Lý thuyết Đạo hàm

1. Đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_{0} \in (a; b)$ .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm $x_{0}$ , kí hiệu là $f^{'} (x_{0})$ hoặc $y^{'} (x_{0})$ .

Vậy:

$f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

Chú ý:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x \in (a; b)$ thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại $x_{0} \in (a; b)$ .

a) Đại lượng $Δ x = x - x_{0}$ gọi là số gia của biến tại $x_{0}$ . Đại lượng $y = f (x) - f (x_{0})$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x = x_{0} + Δ x$ và

$f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ .

b) Tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ $x_{0}$ đến $x_{0} + Δ x$ ; còn $f^{'} (x_{0})$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm $x_{0}$ .

2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f^{'} (t_{0})$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_{0}$ .

- Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì $f^{'} (t_{0})$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_{0}$ .

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $y = f (x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0} T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ .