Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Đạo hàm

Bài 1 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\sqrt[3]{x}$. Chứng minh rằng $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Lời giải:

Với $x_0\ne 0$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{x-x_0}$

=$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x_0}^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Bài 2 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình $y=x^2$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2.

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}=2x$.

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc $y^{\text{'}}(-1)=2.\left(-1\right)=-2$.

b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x₀; y₀).

Ta có $x_0^2=-3x_0+2\iff x_0^2+3x_0-2=0$

$\iff x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$; $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.

•Với $x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{\text{'}}\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)=-3+\sqrt{17}$.

•Với $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{\text{'}}\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)=-3-\sqrt{17}$.

Bài 3 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

Lời giải:

a) Ta có

• $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$;

• $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-x+2\right)=2^2-2+2=4$.

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{3}\ne 4=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.

b) Ta có

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{2}{x}+1\right)=\frac{2}{1}+1=3$;

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3$.

Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}$

$=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=1+3=4$.

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}\text{+1}-3}{x-1}$

$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2-2x}{x\left(x-1\right)}$

$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }-\frac{2}{x}=\frac{-2}{1}=-2$.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$.

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³ − 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

b) Vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x-4$;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}=(x^3-2x^2+1{)}^{\text{'}}=3x^2-2.2x=3x^2-4x$.

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-1$.

Suy ra $3x_0^2-4x_0=-1\iff 3x_0^2-4x_0+1=0\iff x_0=1$ hoặc $x_0=\frac{1}{3}$.

− Với $x_0=1$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(1;0\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(1\right)=-1$ là:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y-0=-1\left(x-1\right)$$\iff y=-x+1$.

− Với $x_0=\frac{1}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(\frac{1}{3};\frac{22}{27}\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=-1$ là:

$y-y\left(\frac{1}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$

$\iff y-\frac{22}{27}=-1\left(x-\frac{1}{3}\right)$

$\iff y=-x+\frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_1:y=-x+1$ và $d_2:y=-x+\frac{31}{27}$.

b) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x-4$ nên $y^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\iff y^{\text{'}}\left(x_0\right)=4$.

Suy ra $3x_0^2-4x_0=4\iff 3x_0^2-4x_0-4=0\iff x_0=2$ hoặc $x_0=-\frac{2}{3}$.

− Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(2;1\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(2\right)=4$ là:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y-1=4\left(x-2\right)$

$\iff y=4x-7$.

− Với $x_0=-\frac{2}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(-\frac{2}{3};-\frac{5}{27}\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(-\frac{2}{3}\right)=4$ là:

$y-y\left(-\frac{2}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

$\iff y-\left(-\frac{5}{27}\right)=4\left(x+\frac{2}{3}\right)$

$\iff y=4x+\frac{67}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_1:y=4x+9$ và $d_2:y=4x+\frac{67}{27}$.

c) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) đi qua điểm A(0; 1) tại tiếp điểm M(x₀;f(x₀)).

Phương trình tiếp tuyến d₁ của (C) có dạng:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y=y^{\text{'}}\left(x_0\right)x+y_0-y^{\text{'}}\left(x_0\right)x_0$

$\iff y=\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x+({x_0}^3-2{x_0}^2+1)-\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x_0$

$\iff y=\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x+\left(-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1\right)$

Vì d₁ đi qua điểm A(0; 1) nên

$1=\left(3{x_0}^2-4x_0\right).0+\left(-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1\right)$

$\iff 1=-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1$

$\iff 0=-2{x_0}^3+2{x_0}^2$

$\iff x_0=1$ ; $x_0=0$

− Với $x_0=1$, phương trình đường thẳng d₁ là:

$y=\left({3.1}^2-4.1\right)x+1=-x+1$.

− Với $x_0=0$, phương trình đường thẳng d₁ là:

$y=\left({3.0}^2-4.0\right)x+1=1$.

Vậy tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) là: $d_1:y=-x+1$ và $d_2:y=1$.

Bài 5 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=2t^2+5t+2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(2t^2+5t+2\right)}^{\text{'}}=2.2t+5=4t+5$.

Vận tốc tức thời tại điểm t = 4 là $s^{\text{'}}\left(4\right)=4.4+5=21$.

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\sqrt[3]{x}$. Chứng minh rằng $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Bài 2 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình $y=x^2$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).

Bài 3 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³ − 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

Bài 5 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.