Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^3 − 2x^2 +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Ngọc Nguyễn Ngày: 10-12-2023 Lớp 11

216

Với Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2 trong Bài 1: Đạo hàm Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^3 − 2x^2 +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³− 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

b) Vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{4} x - 4$ ;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải:

Ta có $y^{'} = (x^{3} - 2 x^{2} + 1)^{'} = 3 x^{2} - 2.2 x = 3 x^{2} - 4 x$ .

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên $y^{'} (x_{0}) = - 1$ .

Suy ra $3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} = - 1 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1$ hoặc $x_{0} = \frac{1}{3}$ .

− Với $x_{0} = 1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (1; 0)$ có hệ số góc $y^{'} (1) = - 1$ là:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y - 0 = - 1 (x - 1)$ $\Leftrightarrow y = - x + 1$ .

− Với $x_{0} = \frac{1}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (\frac{1}{3}; \frac{22}{27})$ có hệ số góc $y^{'} (\frac{1}{3}) = - 1$ là:

$y - y (\frac{1}{3}) = y^{'} (\frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y - \frac{22}{27} = - 1 (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y = - x + \frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_{1} : y = - x + 1$ và $d_{2} : y = - x + \frac{31}{27}$ .

b) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{4} x - 4$ nên $y^{'} (x_{0}) . (- \frac{1}{4}) = - 1 \Leftrightarrow y^{'} (x_{0}) = 4$ .

Suy ra $3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} = 4 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} - 4 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 2$ hoặc $x_{0} = - \frac{2}{3}$ .

− Với $x_{0} = 2$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (2; 1)$ có hệ số góc $y^{'} (2) = 4$ là:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y - 1 = 4 (x - 2)$

$\Leftrightarrow y = 4 x - 7$ .

− Với $x_{0} = - \frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (- \frac{2}{3}; - \frac{5}{27})$ có hệ số góc $y^{'} (- \frac{2}{3}) = 4$ là:

$y - y (- \frac{2}{3}) = y^{'} (- \frac{2}{3}) (x + \frac{2}{3})$

$\Leftrightarrow y - (- \frac{5}{27}) = 4 (x + \frac{2}{3})$

$\Leftrightarrow y = 4 x + \frac{67}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_{1} : y = 4 x + 9$ và $d_{2} : y = 4 x + \frac{67}{27}$ .

c) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) đi qua điểm A(0; 1) tại tiếp điểm M(x₀;f(x₀)).

Phương trình tiếp tuyến d₁ của (C) có dạng:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y = y^{'} (x_{0}) x + y_{0} - y^{'} (x_{0}) x_{0}$

$\Leftrightarrow y = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x + ({x_{0}}^{3} - 2 {x_{0}}^{2} + 1) - (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x_{0}$

$\Leftrightarrow y = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) x + (- 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1)$

Vì d₁ đi qua điểm A(0; 1) nên

$1 = (3 {x_{0}}^{2} - 4 x_{0}) .0 + (- 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1)$

$\Leftrightarrow 1 = - 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2} + 1$

$\Leftrightarrow 0 = - 2 {x_{0}}^{3} + 2 {x_{0}}^{2}$

$\Leftrightarrow x_{0} = 1$ ; $x_{0} = 0$

− Với $x_{0} = 1$ , phương trình đường thẳng d₁ là:

$y = ({3.1}^{2} - 4.1) x + 1 = - x + 1$ .

− Với $x_{0} = 0$ , phương trình đường thẳng d₁ là:

$y = ({3.0}^{2} - 4.0) x + 1 = 1$ .

Vậy tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) là: $d_{1} : y = - x + 1$ và $d_{2} : y = 1$ .

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ . Chứng minh rằng $y^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} (x \neq 0)$ .

Bài 2 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).

Bài 3 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³− 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

Bài 5 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 11

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

291

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

312

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

340

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

288