Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 trang 25, 26, 27, 28, 29, 30 Bài 25: Đa thức một biến sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán lớp 7 trang 25, 26, 27, 28, 29, 30 Bài 25: Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

Câu hỏi 1 trang 25 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:

a) 2.x⁶;             b) $-{\displaystyle \frac{1}{5}}.x^2$     c) -8;    d) 3²x

Phương pháp giải:

Đơn thức có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến.

Số thực gọi là hệ số

Số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức

Lời giải:

a) Hệ số: 2

Bậc: 6

b) Hệ số:$-{\displaystyle \frac{1}{5}}$

Bậc: 2

c) Hệ số: -8

Bậc: 0

d) Hệ số: 9 ( vì 3² = 9)

Bậc: 1

Chú ý: Đơn thức chỉ gồm số thực khác 0 có bậc là 0

Câu hỏi 2 trang 26 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Phương pháp giải:

Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau

$x^m.x^n=x^{m+n}$

Lời giải:

Giả sử hai đơn thức đã cho có biến x

Đơn thức bậc 3 có dạng: a.x³

Đơn thức bậc 2 có dạng: b.x²

Nhân 2 đơn thức trên, ta được đơn thức a.x³.b.x² = (a.b).(x³.x²) = (a.b).x³⁺²= (a.b). x⁵

Vậy ta thu được đơn thức bậc 5.

Luyện tập 1 trang 26 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Tính: $a)5x^3+x^3;b){\displaystyle \frac{7}{4}}{x}^5-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^5;c)(-0,25x^2).(8x^3)$

Phương pháp giải:

+ Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau, giữ nguyên lũy thừa của biến.

+ Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)5x^3+x^3=(5+1)x^3=6x^3\\ b){\displaystyle \frac{7}{4}}{x}^5-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^5=\left({\displaystyle \frac{7}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)x^5={\displaystyle \frac{4}{4}}{x}^5=x^5\\ c)(-0,25x^2).(8x^3)=(-0,25.8).(x^2.x^3)=-2.x^5\end{array}$

2. Khái niệm đa thức một biến

Câu hỏi 3 trang 26 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Mỗi số thực có phải một đa thức không? Tại sao?

Phương pháp giải:

Một đơn thức cũng là một đa thức

Lời giải:

Vì một số thực là một đơn thức. Mà 1 đơn thức cũng là một đa thức nên mỗi số thực cũng là một đa thức

Luyện tập 2 trang 26 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức $B=2x^4-3x^2+x+1$

Phương pháp giải:

Đa thức là tổng của các đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức

Lời giải:

Các hạng tử của B là: 2x⁴; -3x²; x ; 1

3. Đa thức một biến thu gọn

Luyện tập 3 trang 27 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Thu gọn đa thức: $P=2x^3-5x^2+4x^3+4x+9+x$

Phương pháp giải:

Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc

Lời giải:

$\begin{array}{l}P=2x^3-5x^2+4x^3+4x+9+x\\ =\left(2x^3+4x^3\right)-5x^2+\left(4x+x\right)+9\\ =6x^3-5x^2+5x+9\end{array}$

4. Sắp xếp đa thức một biến

Luyện tập 4 trang 27 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Thu gọn ( nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:

$\begin{array}{l}a)A=3x-4x^4+x^3;\\ b)B=-2x^3-5x^2+2x^3+4x+x^2-5\\ c)C=x^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-x^5+6x^2-2\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1:  Đưa đa thức về dạng thu gọn

Bước 2: Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)A=3x-4x^4+x^3\\ =-4x^4+x^3+3x\\ b)B=-2x^3-5x^2+2x^3+4x+x^2-5\\ =(-2x^3+2x^3)+\left(-5x^2+x^2\right)+4x-5\\ =0+(-4x^2)+4x-5\\ =-4x^2+4x-5\\ c)C=x^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-x^5+6x^2-2\\ =\left(x^5-x^5\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+6x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-2\\ =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+6x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-2\end{array}$

5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Hoạt động 1 trang 28 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Xét đa thức . Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau:

Trong P, bậc của hạng tử 5x² là 2 ( số mũ của x²). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Phương pháp giải:

Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến

Lời giải:

Bậc của hạng tử -3x⁴ là 4 ( số mũ của x⁴)

Bậc của hạng tử -2x là 1 ( số mũ của x)

Bậc của 1 là 0

Hoạt động 2 trang 28 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Xét đa thức . Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử ( các đơn thức)  của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau:

Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Phương pháp giải:

Tìm hạng tử có lũy thừa của biến có bậc cao nhất

+ Hệ số của hạng tử là số thực trong đơn thức đó

+ Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến

Lời giải:

Trong P, hạng tử -3x⁴  có bậc cao nhất. Hạng tử này có:

+ Hệ số: -3

+ Bậc: 4

Hoạt động 3 trang 28 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Xét đa thức . Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử ( các đơn thức)  của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau:

Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Phương pháp giải:

+ Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến.

Hạng tử chỉ gồm số thực khác 0 có bậc là 0

Lời giải:

Trong P, hạng tử 1 có bậc bằng 0.

Câu hỏi 4 trang 28 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Một số thực được xem là một đơn thức có bậc là 0

Mỗi đơn thức cũng là 1 đa thức

Lời giải:

Bậc của một số khác 0 là 0.

Luyện tập 5 trang 28 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x²-2x+1-3x⁴;

b) 1,5x²-3,4x⁴+0,5x²-1.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đa thức

Bước 2: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

Lời giải:

a) 5x²-2x+1-3x⁴ = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3

+ Hệ số tự do là: 1

b) 1,5x²-3,4x⁴+0,5x²-1 = -3,4x⁴ + (1,5x² + 0,5x²) -1 = -3,4x⁴ + 2x² -1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3,4

+ Hệ số tự do là: -1

6. Nghiệm của đa thức một biến

Hoạt động 4 trang 29 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Xét đa thức G(x) = x² – 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy, ta có: G(3) = 3² - 4 = 5

Tính các giá trị G(-2); G(1); G(0); G(1); G(2).

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị của x vào đa thức x² – 4

Lời giải:

G(-2) = (-2)² – 4 = 4 – 4 = 0;

G(1) = 1² – 4 = 1 – 4 = -3;

G(0) = 0² – 4 = 0 – 4 = -4;

G(1) = 1² – 4 = 1- 4 = -3;

G(2) = 2² – 4 = 4 – 4 = 0

Hoạt động 5 trang 29 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Với giá trị nào của c thì G(x) có giá trị bằng 0?

Phương pháp giải:

Xét các giá trị x xem tại x = ? thì G(x) = 0

Lời giải:

Tại x = - 2 và x = 2 thì G(x) có giá trị bằng 0.

Luyện tập 6 trang 29 Toán lớp 7 SGK Tập 2: 1. Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x² – 3x – 2 tại x = -1; x = 0 ; x = 1; x =2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x)

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x² + x.

Phương pháp giải:

+ Nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng 0

Chú ý: Đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì có nghiệm x = 0

Lời giải:

1. G(-1) = 2.(-1)² – 3. (-1) – 2 = 2.1 +3 – 2

G(0) = 2. 0² – 3 . 0 – 2 = -2

G(1) = 2.1² – 3.1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3

G(2) = 2.2² – 3.2 – 2 = 8 – 6 – 2 = 0

Vì G(2) = 0  nên 0 là 1 nghiệm của đa thức G(x)

    1. Vì đa thức E(x)  có hệ số tự do bằng 0 nên có một nghiệm là x = 0

Vận dụng trang 29 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x² + 15x

b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

c) Tính giá trị của H(x) khi x =1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Phương pháp giải:

a) + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

b) Đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì có nghiệm x = 0

c) Nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng 0

Lời giải:

a) + Bậc của đa thức là: 2

+ Hệ số cao nhất là: -5

+ Hệ số tự do là: 0

b) Vì đa thức có hệ số tự do bằng 0 nên có nghiệm x = 0

Điều này nói lên: Tại thời điểm bắt đầu ném thì vật ở mặt đất.

c) H(1) = -5.1² + 15.1 = -5 + 15 = 10

H(2) = -5.2² + 15.2 = -20 + 30 = 10

H(3) = -5.3² + 15.3 = -45 + 45 = 0

Vì H(3) = 0 nên x = 3 là nghiệm của H(x)

Nghiệm này có ý nghĩa: Tại thời điểm sau khi ném vật 3 giây thì vật trở lại mặt đất.

Vậy sau 3 giây kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất.

Bài tập

Bài 7.5 trang 30 Toán lớp 7 SGK Tập 2: a, Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
b, Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn

a) Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau

b) Muốn trừ hai đơn thức cùng bậc, ta trừ các hệ số với nhau, giữ nguyên lũy thừa của biến.

Bước 2:

Đơn thức có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến thì:

Số thực gọi là hệ số

Số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức

Lời giải:

a) .

Hệ số: 2

Bậc: 5

b) 

Hệ số: -2

Bậc: 3

Bài 7.6 trang 30 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Cho hai đa thức:

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc

Bước 2: Sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

Lời giải:

a,

b) * Đa thức A(x):

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -7

+ Hệ số tự do là: 9

* Đa thức B(x):

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: 8

+ Hệ số tự do là: -7

Bài 7.7 trang 30 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Cho hai đa thức:

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc

Bước 2: Sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Thay từng giá trị x vào P(x), Q(x) đã thu gọn và tính.

Lời giải:

a,

b) P(1) = 2.1² = 2

P(0) = 2. 0² = 0

Q(-1) = 8.(-1)² – 2.(-1) +5 = 8 +2 +5 =15

Q(0) = 8.0² – 2.0 + 5 = 5

Bài 7.8 trang 30 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m³ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m³ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức ( biến x) biểu thị dung tích bể (m³). Biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m³ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết đa thức biểu thị dung tích bể =  Lượng nước 2 máy bơm trong x giờ + lượng nước máy 2 bơm trong 0,5 giờ + Lượng nước trong bể có sẵn

Bước 2: Thu gọn đa thức

+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

Lời giải:

Đa thức V(x) = 22.x + 16.x + 0,5.16 + 1,5 = (22+16).x + 8 + 1,5 = 38.x + 9,5

Hệ số cao nhất: 38

Hệ số tự do: 9,5

Bài 7.9 trang 30 Toán lớp 7 SGK Tập 2: Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: