Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 19-10-2022 Lớp 10

648

Với Giải SBT Toán 10 trang 39 Tập 1 trong Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 39.

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng

Bài 3.14 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.

Chứng minh rằng:

a) a² + b² = 5c²;

b) cotC= 2 (cot A + cot B).

Lời giải:

a)

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $A G = \frac{2}{3} A M$ và $B G = \frac{2}{3} B N .$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vuông tại G (do AM ⊥ BN) có:

c² = AB² = AG² + BG²

$= \frac{4}{9} . A M^{2} + \frac{4}{9} . B N^{2}$

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC.

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$A M^{2} = m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ và $B N^{2} = m_{b}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} .$

Suy ra c² = $\frac{4}{9} . (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}) + \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4})$

$= \frac{4}{9} . (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4})$

$= \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + b^{2}}{4} + c^{2})$

$\Rightarrow$ c² $= \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + b^{2}}{4} + c^{2})$

$\Rightarrow$ 9c² = a² + b² + 4c²

$\Rightarrow$ 5c² = a² + b².

b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có:

$\cot C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$

Mà 5c² = a² + b² (chứng minh phần a))

Do đó $\cot C = \frac{5 c^{2} - c^{2}}{4 S} = \frac{4 c^{2}}{4 S} = \frac{c^{2}}{S}$ (1)

Mặt khác:

$\cot A + \cot B = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$

$\Rightarrow$ cotA + cotB $= \frac{2 c^{2}}{4 S} = \frac{c^{2}}{2 S}$

$\Rightarrow$ 2(cotA + cotB) $= \frac{c^{2}}{S}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) = $\frac{c^{2}}{S} .$

Vậy cotC = 2(cotA + cotB).

Xem thêm lời giải vở bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3.7 trang 38 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có và c = 12...

Bài 3.8 trang 38 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15...

Bài 3.9 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5...

Bài 3.10 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C...

Bài 3.11 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?...

Bài 3.12 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10 độ so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây...

Bài 3.13 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:...

Bài 3.15 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn Tính số đo các góc của tam giác...

Bài 3.16 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có S = 2R².sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông...

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

61

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

55

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

51

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

66

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

2021 © All Rights Reserved.