Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: 2x − y − z = 2

Nguyễn Trang Ngày: 23-11-2022 Lớp 10

1.4 K

Với giải Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$ ;

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ ;

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$ ;

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases}$ ;

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases}$ ;

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases}$ .

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 5 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + 1 = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2.2 - 1 - z = 2 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z = 1 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{array} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ - x + y = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ 5 y = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + 3 = 7 \\ y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3.1 - 3 - z = 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = - 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7 y - 6}{4}$ . Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được z = x – 3y + 6 = $\frac{7 y - 6}{4} - 3 y + 6 = \frac{- 5 y + 18}{4}$ . Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = { $(\frac{7 y - 6}{4}; y, \frac{- 5 y + 18}{4})$ | y ∈ $ℝ$ }

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases}$ .

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 8 y - 62 z = - 56 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 186 z = - 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31. \frac{24}{31} = - 25 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{87}{31} \\ y = 1 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{87}{31}; 1; \frac{24}{31})$ .

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases}$ .