Đặt Sn = 1/(1.3) + 1/(3.5) + … + 1/(2n − 1) (2n + 1) .

Nguyễn Trang Ngày: 23-11-2022 Lớp 10

2.6 K

Với giải Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 2 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 2.20 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải:

a) $S_{1} = \frac{1}{1.3} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} = \frac{2}{5}, S_{3} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} = \frac{3}{7} .$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_{1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_{k} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

$S_{k + 1} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Từ khóa :

Giải bài tập

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

228

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

265

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

287

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

238