Lời giải:

a) Các ẩn của phương trình (1) là x, y, z.

b) Tất cả các ẩn đều là bậc nhất.

Hoạt động 2 trang 6 Chuyên đề Toán 10: Cho hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y-5z=-4\\ -x+3y+5z=5\\ 2x+7y-3z=3\end{array}\right.$(*)

a) Mỗi phương trình của hệ (*) là phương trình có dạng như thế nào?

b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có là nghiệm của từng phương trình trong hệ (*) hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Mỗi phương trình của hệ (*) là một phương trình bậc nhất ba ẩn.

b) Bộ số (x; y; z) = (–2; 1; 0) có là nghiệm của từng phương trình trong hệ (*).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

3 . (–2) + 2 . 1 – 5 . 0 = –4;

– (–2) + 3 . 1 + 5 . 0 = 5;

2 . (–2) + 7 . 1 – 3 . 0 = 3.

Hoạt động 3 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương.

Lời giải:

Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Hoạt động 4 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình sau:   $\left\{\begin{array}{r}x+2y-z=-4\left(1\right)\\ 4y-3z=-13\left(2\right)\\ -5z=-15\left(3\right)\end{array}\right.$  (III)

Lời giải:

Để giải hệ phương trình (III), ta làm như sau:

– Từ phương trình (3), ta có: z = (–15) : (–5) = 3.

– Thế z = 3 vào phương trình (2), ta được:

4y – 3 . 3 = –13 $\iff$ 4y – 9 = –13 $\iff$ 4y = (–13) + 9 $\iff$ 4y = –4 $\iff$ y = (–4) : 4 $\iff$ y = –1.

– Thế y = –1, z = 3 vào phương trình (1), ta được:

x + 2 . (–1) – 3 = –4 $\iff$ x – 5 = –4 $\iff$ x = (–4) + 5$\iff$ x = 1.

Vậy hệ phương trình (III) có nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3).

Hoạt động 5 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình sau:

Lời giải:

Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu phương pháp Gauss thông qua việc giải hệ phương trình (IV).

Bước 1. Khử số hạng chứa x

– Trừ theo từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), rồi thay phuơng trình mới vào vị trí phuơng trình thứ hai

– Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 rồi trừ theo từng vế cho phương trình (3), sau đó thay phuơng trình mới vào vị trí phương trình thứ ba

Bước 2. Khử số hạng chứa y

Nhân hai vế của phương trình (4) với 3, nhân hai vế của phương trình (5) với 4, rồi trừ theo từng vế hai phương trình vùa tìm được và thay phương trình mới vào vị trí phương trình thứ ba. 

Bước 3. Giải hệ phương trình (V) có dạng tam giác, ta được nghiệm (x; y; z) = (1; –1; 3).

Luyện tập 1 trang 9 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (4; 1; 2).

Luyện tập 2 trang 9 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 3 trang 10 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về:

Đặt z = t với t là số thực bất kì, ta có: x = –1 + 2t, y = t.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm (x ; y ; z) = (–1 + 2t; t; t) với t là số thực bất kì.

Luyện tập 4 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2x-3y+4z=-5\\ -4x+5y-z=6\\ 3x+4y-3z=7\end{array}\right..$

Lời giải:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra x = $\frac{22}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra y = $\frac{131}{101}.$

Ấn tiếp phím = ta thấy trên màn hình hiện ra z = $-\frac{39}{101}.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $\left(\frac{22}{101};\frac{131}{101};-\frac{39}{101}\right).$

Giải bài tập trang 11, 12 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Bài 1 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Kiểm tra xem mỗi bộ số (x; y; z) đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không.

Lời giải:

a)

+) Thay bộ số (0; 3; –2) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

0 + 3 . 3 + 2 . (–2) = 1 $\iff$ 5 = 1 (sai). Vậy bộ số (0; 3; –2) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 3 . 5 + 2 . (–13) = 1 $\iff$ 1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 – 5 + 3 . (–13) = 16 $\iff$ 16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 5; –13) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 12 + 7 . 5 + (–13) = –14 $\iff$ –14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 5; –13) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

1 + 3 . (–2) + 2 . 3 = 1 $\iff$ 1 = 1 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 1 – (–2) + 3 . 3 = 16 $\iff$ 16 = 16 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (1; –2; 3) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

–3 . 1 + 7 . (–2) + 3 = –14 $\iff$ –14 = –14 (đúng). Vậy bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (1; –2; 3) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b)

+) Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . (–2) – 4 + 4 . 0 = –10 $\iff$ –10 = ­–10 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

– (–2) + 4 + 2 . 0 = 6 $\iff$ 6 = ­6 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Thay bộ số (–2; 4; 0) vào phương trình thứ ba của hệ ta được:

2 . (–2) – 4 + 0 = –8 $\iff$ –8 = ­–8 (đúng). Vậy bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với phương trình thứ ba của hệ đã cho.

Vì bộ số (–2; 4; 0) nghiệm đúng với cả ba phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (0; –3; 10) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 0 – (–3) + 4 . 10 = –10 $\iff$ 43 = ­–10 (sai). Vậy bộ số (0; –3; 10) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

+) Thay bộ số (1; –1; 5) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

3 . 1 – (–1) + 4 . 5 = –10 $\iff$ 24 = ­–10 (sai). Vậy bộ số (1; –1; 5) không phải nghiệm của phương trình thứ nhất, do đó không phải nghiệm của hệ đã cho.

c)

+) Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

4 + 18 + 78 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (4; 18; 78) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 4 + 3 . 18 +  . 78 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (4; 18; 78) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

8 + 11 + 81 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (8; 11; 81) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 8 + 3 . 11 +  . 81 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (8; 11; 81) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+) Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

12 + 4 + 84 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ nhất của hệ đã cho.

Thay bộ số (12; 4; 84) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

5 . 12 + 3 . 4 +  . 84 = 100 $\iff$ 100 = ­100 (đúng). Vậy bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với phương trình thứ hai của hệ đã cho.

Vì bộ số (12; 4; 84) nghiệm đúng với cả hai phương trình nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 2 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (22; –1; –5).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (–2; 2; 1).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (2; –14; 10).

Bài 3 trang 11 Chuyên đề Toán 10:Giải hệ phương trình: