Phương pháp giải:

Thu gọn bất phương trình về dạng tổng quát.

Phương pháp giải:

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=-x-y$ với $\left(x;y\right)$ thỏa mãn hệ trên.

Lời giải:

- Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}$

Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với

A(1;4); B(5;4), C(5;-6); D(-1;0).

Giá trị F tại các điểm A, B, C, D lần lượt là:

$F\left(1;4\right)=-1-4=-5$

$F\left(5;4\right)=-5-4=-9$

$F\left(5;6\right)=-5-6=-11$

$F\left(-1;0\right)=-\left(-1\right)-0=1$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) là 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) là -11.

Bài 2.15 trang 32 Toán lớp 10: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Lời giải:

 Bước 1:

1,2 tỉ đồng=1200 (triệu đồng)

Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp.

Khi đó $x\ge 0,y\ge 0$.

Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ nên số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là $1200-x-y$ (triệu đồng)

Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: $1200-x-y\ge 3x\iff 4x+y\le 1200$

Bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên $y\le 200$

Từ điều kiện của bài toán ta có số tiền bác An đầu tư trái phiếu phải thỏa mãn hệ:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 4x+y\le 1200\\ y\le 200\end{array}$

Xác định miền nghiệm là miền tứ giác OABC với:

O(0;0); A(3

00;0); B(250;200); C(0;200).

Bước 2: Lợi nhuận thu được sau một năm là

$\begin{array}{l}F\left(x;y\right)=\left(1200-x-y\right).7\mathrm{\%}+x.8\mathrm{\%}+y.12\mathrm{\%}\\ =84+0,01x+0,05y\end{array}$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 4x+y\le 1200\\ y\le 200\end{array}$

Thay tọa độ các điểm O, A, B, C vào biểu thức F(x;y) ta được:

$F\left(0;0\right)=80$

$F\left(300;0\right)=84+0,01.300+0,05.0=87$

$F\left(250;200\right)=84+0,01.250+0,05.200=96,5$

$F\left(0;200\right)=84+0,01.0+0,05.200=94$

=> F đạt giá trị lớn nhất là 96,5 nếu x=250 và y=200.

Vậy bác An nên đầu tư 250 triệu đồng trái phiếu ngân hàng, 200 triệu trái phiếu doanh nghiệp và 750 trái phiếu chính phủ.

Chú ý: Đổi về đơn vị triệu đồng.

Bài 2.16 trang 32 Toán lớp 10: Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.

Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x, y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x, y) với x, y thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

Lời giải:

 Gọi x và y là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và trên truyền hình.

Khi đó $x\ge 0;y\ge 0$

160 triệu đồng=160000 (nghìn đồng)

Chi phí quảng cáo x giây trên đài phát thanh và y giây trên truyền hình là $80x+400y$(nghìn đồng)

Vì công ty dự chi tối đa 160 triệu đồng nên ta có

$80x+400y\le 160000$$\iff x+5y\le 2000$

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây nên ta có: $x\le 900$

Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây nên ta có: $y\le 360$

Ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+5y\le 2000\\ x\le 900\\ y\le 360\end{array}$

Xác định miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với:

A(900;0); B(900;220); C(200;360); D(0;400)

Hiệu quả quảng cáo là: $F\left(x;y\right)=x+8y$

Ta có:

$F\left(0;0\right)=0$

$F\left(900;0\right)=900+8.0=900$

$F\left(900;220\right)=900+8.220=2660$

$F\left(200;360\right)=3080$

$F\left(0;400\right)=3200$

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên đài phát thanh là 0 giây và trên truyền hình là 400 giây thì hiệu quả nhất.