Toán 10 Kết nối tri thức trang 39 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Giang Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

Với giải Câu hỏi trang 39 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 39 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng : $Δ_{1} : x + 3 y + 2 = 0, Δ_{2} : y = 3 x + 1$

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, Δ_{2} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$

Bước 1: Xác định VTPT $\vec{n_{1}} (a_{1}, b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}, b_{2})$ tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} . \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Từ đó suy ra $φ$ , là góc giữa hai đường thẳng

Lời giải:

Ta có $Δ_{1}$ có vecto pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; 3)$ .

Phương trình tổng quát của $Δ_{2}$ là $3 x - y + 1 = 0$ , suy ra $\vec{n_{2}} = (3; - 1)$

Do $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.3 + 3. (- 1) = 0$ . Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Cách 2:

Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

$\cos φ = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |} = \frac{| 1.3 + 3. (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$

Do đó góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là $φ = 90^{o}$

Luyện tập 3 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}, Δ_{2} : {\begin{cases} x = 1 + t^{'} \\ y = 5 + 3 t^{'} \end{cases}$

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$

Bước 1: Xác định VTPT $\vec{n_{1}} (a_{1}, b_{1})$ và $\vec{n_{2}} (a_{2}, b_{2})$ tương ứng.

Từ đó suy ra $φ$ , là góc giữa hai đường thẳng

Lời giải:

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; - 2) \Rightarrow \vec{n_{1}} = (2; 1)$ và $\vec{u_{2}} = (1; 3) \Rightarrow \vec{n_{2}} = (3; - 1)$ .

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 2.3 + 1. (- 1) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$

Luyện tập 4 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng $Δ$ : y= ax + b, với $a \neq 0$ .

a) Chứng minh rằng $Δ$ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng $Δ_{o}$ đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với $Δ$

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $α_{Δ}$ và $α_{Δ_{o}}$ .

d) Gọi M là giao điểm của $Δ_{o}$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_{o}$ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo $x_{o}$ và a. Từ đó, chứng minh rằng $\tan α_{Δ} = a$ .

Phương pháp giải:

a) Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm

b) Hai đường thẳng song có cùng vecto chỉ phương ( hoặc pháp tuyến)

d) Sử dụng đinh nghĩa hàm số tang

Lời giải:

a) Xét hệ phương trình: ${\begin{cases} y = 0 \\ y = a x + b \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} y = 0 \\ x = \frac{- b}{a} \end{cases}$ . Vậy đường thẳng $Δ$ cắt trục hoành tại điểm $(\frac{- b}{a}; 0)$ .

b) Phương trình đường thẳng $Δ_{o}$ đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với $Δ$ là $y = a (x - 0) + 0 = a x$ .

c) Ta có: $α_{Δ} = α_{Δ_{o}}$ .

d) Từ câu b) và điều kiện $x_{o}^{2} + y_{o}^{2} = 1$ trong đó $y_{o}$ là tung độ của điểm M, ta suy ra $x_{o} \neq 0$ . Do đó: $\tan α_{Δ} = \tan α_{Δ_{o}} = \frac{y_{o}}{x_{o}} = a$ .