Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HĐ1 trang 36 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_1:x-2y+3=0\\ {\mathrm{\Delta }}_2:3x-y-1=0\end{array}$ .

a) Điểm $M\left(1;2\right)$ có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{array}$.

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Lời giải:

a) Điểm $M\left(1;2\right)$ thuộc cả hai đường thẳng nói trên.

b) Ta có: $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=-3\\ 3x-y=1\end{array}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$

c) Tọa độ giao điểm của ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình$\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{array}$.

Câu hỏi trang 37 Toán 10

Luyện tập 1 trang 37 SGK Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:x+4y-3=0,{\mathrm{\Delta }}_2:x-4y-3=0$

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:x+2y-\sqrt{5}=0,{\mathrm{\Delta }}_2:2x+4y-3\sqrt{5}=0$

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{1}{1}\ne \frac{4}{-4}$, do đó hai vecto pháp tuyến không cùng phương. Vậy hai đường thẳng cắt nhau.

b) Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, do đó hai vecto pháp tuyến này cùng phương. Suy ra hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ trùng nhau hoặc cắt nhau.

Mặt khác, điểm $M\left(\sqrt{5};0\right)$ thuộc ${\mathrm{\Delta }}_1$ nhưng không thuộc ${\mathrm{\Delta }}_2$ nên hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ song song.

2. Góc giữa hai đường thẳng

HĐ2 trang 37 SGK Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc. Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Lời giải:

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc trong đó có hai góc nhọn bằng nhau và hai góc tù bằng nhau. Góc nhọn và góc tù trong trường hợp này là hai góc bù nhau.

HĐ3 trang 38 SGK Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng cắt nhau ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$tương ứng có các vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng đó. Nêu mối quan hệ giữa:

a) $\phi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$.

b) $\cos \phi$ và $\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$.

Lời giải:

a) Góc $\phi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Do góc $\phi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau nên  $\cos \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|$ 

Câu hỏi trang 39 Toán 10

Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2:  Tính góc giữa hai đường thẳng : ${\mathrm{\Delta }}_1:x+3y+2=0,{\mathrm{\Delta }}_2:y=3x+1$

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,{\mathrm{\Delta }}_2:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$

Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}(a_1,b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}(a_2,b_2)$ tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Từ đó suy ra $\phi$, là góc giữa hai đường thẳng

Lời giải:

Ta có ${\mathrm{\Delta }}_1$có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;3\right)$.

Phương trình tổng quát của ${\mathrm{\Delta }}_2$ là $3x-y+1=0$, suy ra $\overrightarrow{n_2}=\left(3;-1\right)$

Do $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.3+3.\left(-1\right)=0$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Cách 2: 

Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

$\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|1.3+3.(-1)\right|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{3^2+{(-1)}^2}}=0$

Do đó góc giữa ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ là $\phi ={90}^o$

Luyện tập 3 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\end{array},{\mathrm{\Delta }}_2:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\prime }\\ y=5+3t^{\prime }\end{array}$

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$

Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}(a_1,b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}(a_2,b_2)$ tương ứng.

Bước 2: Tính $\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

Từ đó suy ra $\phi$, là góc giữa hai đường thẳng

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-2\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_1}=\left(2;1\right)$ và $\overrightarrow{u_2}=\left(1;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_2}=\left(3;-1\right)$.

Ta có $$\begin{gathered} \cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\frac{\left|2.3+1.(-1)\right|}{\sqrt{2^2+1^2}.\sqrt{3^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={45}^o \end{gathered}$$

Luyện tập 4 trang 39 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: y= ax + b, với$a\ne 0$ .

a) Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta }$ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_o$ đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với$\mathrm{\Delta }$

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa ${\alpha }_{\mathrm{\Delta }}$ và ${\alpha }_{{\mathrm{\Delta }}_o}$.

d) Gọi M là giao điểm của ${\mathrm{\Delta }}_o$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_o$ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo $x_o$ và a. Từ đó, chứng minh rằng $\tan {\alpha }_{\mathrm{\Delta }}=a$.

Phương pháp giải:

a) Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm

b) Hai đường thẳng song có cùng vecto chỉ phương ( hoặc pháp tuyến)

d) Sử dụng đinh nghĩa hàm số tang

Lời giải:

a) Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}y=0\\ y=ax+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=0\\ x=\frac{-b}{a}\end{array}$ . Vậy đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{-b}{a};0\right)$.

b) Phương trình đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_o$ đi qua O(0, 0) và song song (hoặc trùng) với$\mathrm{\Delta }$ là $y=a\left(x-0\right)+0=\mathrm{a}x$.

c) Ta có: ${\alpha }_{\mathrm{\Delta }}={\alpha }_{{\mathrm{\Delta }}_o}$.

d) Từ câu b) và điều kiện $x_o^2+y_o^2=1$ trong đó $y_o$ là tung độ của điểm M, ta suy ra $x_o\ne 0$. Do đó: $\tan {\alpha }_{\mathrm{\Delta }}=\tan {\alpha }_{{\mathrm{\Delta }}_o}=\frac{y_o}{x_o}=a$.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Câu hỏi trang 40 Toán 10

HĐ4 trang 40 SGK Toán 10 Tập 2: Cho điểm $M\left(x_o;y_0\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\mathrm{a}x+by+c=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $\mathrm{\Delta }$.

a) Chưng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$

b) Giả sử H có tọa độ $\left(x_1;y_1\right)$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a{x}_o+b{y}_o+c$

c) Chứng minh rằng $HM=\frac{\left|\mathrm{a}{x}_o+b{y}_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

Lời giải:

a) Ta có: $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|.\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{HM}\right)\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM.1=\sqrt{a^2+b^2}.HM$

b) Ta có :$\overrightarrow{n}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right),\overrightarrow{HM}=\left(x_1-x_o;y_1-y_o\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a{x}_o+b{y}_o+c$trong đó $a{x}_1+b{y}_1=c$.

c) Ta có:$\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{HM}\right|.\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{HM}\right)\right|\iff \left|a{x}_o+b{y}_o+c\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM\Rightarrow HM=\frac{\left|a{x}_o+b{y}_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Trải nghiệm trang 40 SGK Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A(H7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Lời giải:

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ chính là độ dài đoạn MH trong đó H là hình chiếu từ M xuống $\mathrm{\Delta }$.

Gọi các điểm A, B, C, D như hình vẽ.

Ta có: $OA=3,OB=4\Rightarrow AB=5$

$DB=2=\frac{1}{2}OB\Rightarrow CD=\frac{1}{2}OA=1,5\Rightarrow MC=4-1,5=2,5.$

Lại có: $\widehat{MCH}=\widehat{BCD}=\widehat{BAO}$

Mà: $\sin \widehat{MCH}=\frac{MH}{MC};\sin \widehat{BAO}=\frac{OB}{AB}=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \frac{MH}{2,5}=\frac{4}{5}\iff MH=2$

Do đó kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải ở Ví dụ 4.

Luyện tập 5 trang 40 SGK Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm $M\left(1;2\right)$ đến đường thẳng$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa pt về dạng PT tổng quát

Bước 2: Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$ là:

$d(M,\mathrm{\Delta })=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Lời giải:

Ta có: 

$\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\Rightarrow 4x+3y=4(5+3t)+3(-5-4t)=5$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là $4x+3y-5=0$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là $d\left(M,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|4.1+3.2-5\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$.

Câu hỏi trang 41 Toán 10

Vận dụng trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Phương pháp giải:

Viết phương trình tổng quát của EF, sau đó tính khoảng cách từ B đến EF rồi so sánh với 10,7.

Lời giải:

a) Tọa độ các điểm là: $B\left(0;0\right),A\left(0;12\right),C\left(15;0\right),D\left(15;12\right),E\left(5;12\right),F\left(15;6\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{EF}=\left(10;-6\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{EF}}=\left(3;5\right)$. Phương trình tổng quát của EF là: $3\left(x-5\right)+5\left(y-12\right)=0\iff 3x+5y-75=0$.

b) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng EF là: $d\left(B,EF\right)=\frac{\left|3.0+5.0-75\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}\approx 12,9\left(m\right)$.

Mặt khác, Nam có thể quăng lưới câu xa 10,7m. Do đó lưỡi câu của Nam không thể rơi vào nơi nuôi vịt được.

Bài tập

Bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:6x+2y-\sqrt{6}=0$

b) $d_1:x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-3y+2=0$

c) $m_1:x-2y+1=0$ và $m_2:3x+y-2=0$

Lời giải:

a) Ta có: ${\mathrm{\Delta }}_1:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\iff \sqrt{2}\left(3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}\right)=0\iff 6x+2y-\sqrt{6}=0$

Do đó hai đường thẳng trùng nhau.

b) Ta có: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3}\ne \frac{2}{2}$, do đó hai đường thẳng song song với nhau.

c) Ta có: $\frac{1}{3}\ne \frac{-2}{1}$, do đó hai đường thẳng cắt nhau. 

Bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:\sqrt{3}x+y-4=0$ và${\mathrm{\Delta }}_2:x+\sqrt{3}y+3=0$

b) $d_1:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{n_1}=\left(\sqrt{3};1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;\sqrt{3}\right)$

Suy ra: $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={30}^o$

b) Ta có: $\overrightarrow{u_1}=\left(2;4\right),\overrightarrow{u_2}=\left(1;-3\right)$

Suy ra: $\cos \left(d_1,d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|2.1+4.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+4^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={45}^o$

Bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; -2) và đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: x + y - 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với $\mathrm{\Delta }$.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

b) Đường thẳng a đi qua M và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}$

c) Đường thẳng b đi qua N và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_b}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}$

Lời giải:

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $d\left(A,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|0-2-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;1\right)$. Phương trình đường thẳng a là:

$1\left(x+1\right)+1\left(y-0\right)=0\iff x+y+1=0$

c) Ta có: $\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;1\right)$.Từ đó suy ra $\overrightarrow{n_b}=\left(1;-1\right)$. Phương trình đường thẳng b là:

$1\left(x-0\right)-1\left(y-3\right)=0\iff x-y+3=0$

Bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC, sau đó tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

b) Tính BC sau đó sử dụng công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}.d\left(A,BC\right).BC$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u_{BC}}=\overrightarrow{BC}=\left(-5;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=\left(3;-5\right)$ . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: $3\left(x-3\right)-5\left(y-2\right)=0\iff 3x-5y+1=0$.

Độ dài đường cao AK của tam giác $ABC$ hạ từ đỉnh A là: $AK=d\left(A,BC\right)=\frac{\left|3.1-0.5+1\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}$

b) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-3\right)\Rightarrow BC=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{34}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AK.BC=\frac{1}{2}.\frac{4}{\sqrt{34}}.\sqrt{34}=2$

Bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b ($a\ne 0$ ) và d': y=a'x + b' ($a^{\prime }\ne 0$)  vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Phương pháp giải:

Chuyển mỗi phương trình của  về dạng tổng quát từ đó tìm được hai vecto pháp tuyến tương ứng của mỗi đường thẳng, sau đó sử dụng điều kiện.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d,d^{\prime }$ lần lượt là: $ax-y+b=0,a^{\prime }x-y+b^{\prime }=0$.

Do đó $\overrightarrow{n_d}=\left(a;-1\right),\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=\left(a^{\prime };-1\right)$.

Ta có $d\mathrm{\perp }{d}^{\prime }\iff \overrightarrow{n_d}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}\iff \overrightarrow{n_d}.\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=0\iff a.a^{\prime }+\left(-1\right)\left(-1\right)=0\iff a.a^{\prime }=-1$.

Bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Phương pháp giải:

Vị trí điểm J đặt âm thanh cách đều ba điểm O, A, B. Do đó J là giao điểm của các đường trung trực của tam giác OAB.

Lời giải:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi. Ta có J cách đều O, A, B. Do đó J là giao của hài đường trun trực $d_1,d_2$ tương ứng của OA, OB. Đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm M của OA và vuông góc với OA. Ta có $M\left(\frac{1}{2};0\right)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}=\overrightarrow{OA}=\left(1;0\right)$.

Phương trình đường thẳng $d_1$ là $1\left(x-\frac{1}{2}\right)+0\left(y-0\right)=0\iff x=\frac{1}{2}$.

Tương tự, phương trình đường thẳng $d_2$ là $x+3y-5=0$.

Tọa độ điểm J là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x+3y-5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}$.

Vậy $J\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.