Với giải Câu hỏi trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 41 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Vận dụng trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Phương pháp giải:

Viết phương trình tổng quát của EF, sau đó tính khoảng cách từ B đến EF rồi so sánh với 10,7.

Lời giải:

a) Tọa độ các điểm là: $B\left(0;0\right),A\left(0;12\right),C\left(15;0\right),D\left(15;12\right),E\left(5;12\right),F\left(15;6\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{EF}=\left(10;-6\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{EF}}=\left(3;5\right)$. Phương trình tổng quát của EF là: $3\left(x-5\right)+5\left(y-12\right)=0\iff 3x+5y-75=0$.

b) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng EF là: $d\left(B,EF\right)=\frac{\left|3.0+5.0-75\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}\approx 12,9\left(m\right)$.

Mặt khác, Nam có thể quăng lưới câu xa 10,7m. Do đó lưỡi câu của Nam không thể rơi vào nơi nuôi vịt được.

Bài tập

Bài 7.7 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:6x+2y-\sqrt{6}=0$

b) $d_1:x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-3y+2=0$

c) $m_1:x-2y+1=0$ và $m_2:3x+y-2=0$

Lời giải:

a) Ta có: ${\mathrm{\Delta }}_1:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\iff \sqrt{2}\left(3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}\right)=0\iff 6x+2y-\sqrt{6}=0$

Do đó hai đường thẳng trùng nhau.

b) Ta có: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3}\ne \frac{2}{2}$, do đó hai đường thẳng song song với nhau.

c) Ta có: $\frac{1}{3}\ne \frac{-2}{1}$, do đó hai đường thẳng cắt nhau. 

Bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:

a) ${\mathrm{\Delta }}_1:\sqrt{3}x+y-4=0$ và${\mathrm{\Delta }}_2:x+\sqrt{3}y+3=0$

b) $d_1:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{n_1}=\left(\sqrt{3};1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;\sqrt{3}\right)$

Suy ra: $\cos \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={30}^o$

b) Ta có: $\overrightarrow{u_1}=\left(2;4\right),\overrightarrow{u_2}=\left(1;-3\right)$

Suy ra: $\cos \left(d_1,d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|2.1+4.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+4^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\right)={45}^o$

Bài 7.9 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; -2) và đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: x + y - 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với $\mathrm{\Delta }$.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

b) Đường thẳng a đi qua M và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}$

c) Đường thẳng b đi qua N và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_b}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}$

Lời giải:

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $d\left(A,\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|0-2-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;1\right)$. Phương trình đường thẳng a là:

$1\left(x+1\right)+1\left(y-0\right)=0\iff x+y+1=0$

c) Ta có: $\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;1\right)$.Từ đó suy ra $\overrightarrow{n_b}=\left(1;-1\right)$. Phương trình đường thẳng b là:

$1\left(x-0\right)-1\left(y-3\right)=0\iff x-y+3=0$

Bài 7.10 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC, sau đó tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

b) Tính BC sau đó sử dụng công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}.d\left(A,BC\right).BC$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u_{BC}}=\overrightarrow{BC}=\left(-5;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=\left(3;-5\right)$ . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: $3\left(x-3\right)-5\left(y-2\right)=0\iff 3x-5y+1=0$.

Độ dài đường cao AK của tam giác $ABC$ hạ từ đỉnh A là: $AK=d\left(A,BC\right)=\frac{\left|3.1-0.5+1\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}$

b) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-3\right)\Rightarrow BC=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{34}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AK.BC=\frac{1}{2}.\frac{4}{\sqrt{34}}.\sqrt{34}=2$

Bài 7.11 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b ($a\ne 0$ ) và d': y=a'x + b' ($a^{\prime }\ne 0$)  vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Phương pháp giải:

Chuyển mỗi phương trình của  về dạng tổng quát từ đó tìm được hai vecto pháp tuyến tương ứng của mỗi đường thẳng, sau đó sử dụng điều kiện.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d,d^{\prime }$ lần lượt là: $ax-y+b=0,a^{\prime }x-y+b^{\prime }=0$.

Do đó $\overrightarrow{n_d}=\left(a;-1\right),\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=\left(a^{\prime };-1\right)$.

Ta có $d\mathrm{\perp }{d}^{\prime }\iff \overrightarrow{n_d}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}\iff \overrightarrow{n_d}.\overrightarrow{n_{d^{\prime }}}=0\iff a.a^{\prime }+\left(-1\right)\left(-1\right)=0\iff a.a^{\prime }=-1$.

Bài 7.12 trang 41 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Phương pháp giải:

Vị trí điểm J đặt âm thanh cách đều ba điểm O, A, B. Do đó J là giao điểm của các đường trung trực của tam giác OAB.

Lời giải:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi. Ta có J cách đều O, A, B. Do đó J là giao của hài đường trun trực $d_1,d_2$ tương ứng của OA, OB. Đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm M của OA và vuông góc với OA. Ta có $M\left(\frac{1}{2};0\right)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}=\overrightarrow{OA}=\left(1;0\right)$.

Phương trình đường thẳng $d_1$ là $1\left(x-\frac{1}{2}\right)+0\left(y-0\right)=0\iff x=\frac{1}{2}$.

Tương tự, phương trình đường thẳng $d_2$ là $x+3y-5=0$.

Tọa độ điểm J là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x+3y-5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}$.

Vậy $J\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.