SBT Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

SBT Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

436

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Bài 4 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5} = \frac{x}{. . .}$

b) $\frac{x^{2} + 8}{2 x - 1} = \frac{3 x^{3} + 24 x}{. . .}$

c) $\frac{. . .}{x - y} = \frac{3 x^{2} - 3 x y}{3 {(y - x)}^{2}}$

d) $\frac{- x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x + y} = \frac{. . .}{y^{2} - x^{2}}$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) Ta có: $x - x^{2} = x (1 - x)$

Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho $1 - x$ nên mẫu thức phải chia cho $1 - x$

Mà $5 x^{2} - 5 = 5 (x - 1) (x + 1)$ $= - 5 (1 - x) (x + 1)$

Ta có : $\frac{x - x^{2}}{5 x^{2} - 5} = \frac{x (1 - x)}{- 5 (1 - x) (x + 1)}$ $= \frac{x}{- 5 (x + 1)}$

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là $- 5 (x + 1)$

b) $\frac{x^{2} + 8}{2 x - 1} = \frac{3 x^{3} + 24 x}{. . .}$

$\Rightarrow \frac{x^{2} + 8}{2 x - 1} = \frac{3 x (x^{2} + 8)}{. . .}$

Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với $3 x$ nên mẫu thức cũng nhân với $3 x$ .

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là $3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x$

Ta có: $\frac{x^{2} + 8}{2 x - 1} = \frac{3 x^{3} + 24 x}{6 x^{2} - 3 x}$

c) $\frac{. . .}{x - y} = \frac{3 x^{2} - 3 x y}{3 {(y - x)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{. . .}{x - y} = \frac{3 x (x - y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với $3 (x - y)$ nên tử cũng được nhân với $3 (x - y)$ mà $3 x^{2} - 3 x y = 3 x (x - y)$

Vậy đa thức cần điển vào chỗ trống là $x$

Ta có: $\frac{x}{x - y} = \frac{3 x^{2} - 3 x y}{3 {(y - x)}^{2}}$

d) $\frac{- x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x + y} = \frac{. . .}{y^{2} - x^{2}}$

$\Rightarrow$ $\frac{- x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x + y} = \frac{. . .}{(y - x) (x + y)}$

Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm $y - x$ nên tử phải nhân với $y - x$ , đa thức cần điền là

$(- x^{2} + 2 x y - y^{2}) (y - x)$

$= - (x^{2} - 2 x y + y^{2}) (y - x)$

$= (x - y) {(x - y)}^{2} = {(x - y)}^{3}$

Ta có: $\frac{- x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x + y} = \frac{{(x - y)}^{3}}{y^{2} - x^{2}}$

Bài 5 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức $A$ cho trước :

a) $\frac{4 x + 3}{x^{2} - 5}, A = 12 x^{2} + 9 x$

b) $\frac{8 x^{2} - 8 x + 2}{(4 x - 2) (15 - x)}, A = 1 - 2 x$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) $A = 12 x^{2} + 9 x = 3 x (4 x + 3)$

$\Rightarrow \frac{4 x + 3}{x^{2} - 5} = \frac{(4 x + 3) .3 x}{(x^{2} - 5) .3 x}$ $= \frac{12 x^{2} + 9 x}{3 x^{3} - 15 x}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} 8 x^{2} - 8 x + 2 \\ = 2 (4 x^{2} - 4 x + 1) \\ = 2 [{(2 x)}^{2} - 2.2 x .1 + 1^{2}] \\ = 2 {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(1 - 2 x)}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow (8 x^{2} - 8 x + 2) : (1 - 2 x)$ $= 2 {(1 - 2 x)}^{2} : (1 - 2 x)$ $= 2 (1 - 2 x) = 2 - 4 x$

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2}{(4 x - 2) (15 - x)}$

$= \frac{(8 x^{2} - 8 x + 2) : (2 - 4 x)}{(4 x - 2) (15 - x) : (2 - 4 x)}$

$= \frac{1 - 2 x}{x - 15}$

Bài 6 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức :

a) $\frac{3}{x + 2}$ và $\frac{x - 1}{5 x}$

b) $\frac{x + 5}{4 x}$ và $\frac{x^{2} - 25}{2 x + 3}$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) $\frac{3}{x + 2} = \frac{3 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1)}$ $= \frac{3 x - 3}{x^{2} + x - 2}$

$\frac{x - 1}{5 x} = \frac{3 (x - 1)}{5 x .3} = \frac{3 x - 3}{15 x}$

b) $\frac{x + 5}{4 x} = \frac{(x + 5) (x - 5)}{4 x (x - 5)}$ $= \frac{x^{2} - 25}{4 x^{2} - 20 x}$

$\frac{x^{2} - 25}{2 x + 3}$

Bài 7 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức :

a) $\frac{3 x}{x - 5}$ và $\frac{7 x + 2}{5 - x}$

b) $\frac{4 x}{x + 1}$ và $\frac{3 x}{x - 1}$

c) $\frac{2}{x^{2} + 8 x + 16}$ và $\frac{x - 4}{2 x + 8}$

d) $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 3)}$ và $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) $\frac{3 x}{x - 5} = \frac{- (3 x)}{- (x - 5)} = \frac{- 3 x}{5 - x}$

$\frac{7 x + 2}{5 - x}$

b) $\frac{4 x}{x + 1} = \frac{4 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ $= \frac{4 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 1}$

$\frac{3 x}{x - 1} = \frac{3 x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{3 x^{2} + 3 x}{x^{2} - 1}$

c) $\frac{2}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{2}{x^{2} + 2. x .4 + 4^{2}}$

$= \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} = \frac{4}{2 {(x + 4)}^{2}}$

$\frac{x - 4}{2 x + 8} = \frac{x - 4}{2 (x + 4)}$ $= \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 (x + 4) (x + 4)} = \frac{x^{2} - 16}{2 {(x + 4)}^{2}}$

d) $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 3)}$ $= \frac{2 x (x - 2)}{(x + 1) (x - 3) (x - 2)}$ $= \frac{2 x^{2} - 4 x}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

$\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 2)}$ $= \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$ $= \frac{x^{2} - 9}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Bài 8 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ .

Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng $\frac{A^{'}}{E}$ và $\frac{C^{'}}{E}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{A^{'}}{E} = \frac{A}{B}$ và $\frac{C^{'}}{E} = \frac{C}{D}$ .

Phương pháp giải:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

Lời giải:

Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ ta có được hai phân thức cùng mẫu $\frac{A . D}{B . D}$ và $\frac{C . B}{B . D}$ (thỏa mãn điều kiện $\frac{A . D}{B . D} = \frac{A}{B}$ ; $\frac{C . B}{B . D} = \frac{C}{D}$ )

Ta nhân tử và mẫu của hai phân thức đó với cùng một đa thức $M \neq 0$ bất kỳ, ta có hai phân thức mới cùng mẫu $\frac{A . D . M}{B . D . M}$ và $\frac{C . B . M}{B . D . M}$ và lần lượt bằng hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$

Ta đặt $B . D . M = E; A . D . M = A^{'};$ $C . B . M = C^{'}$

$\Rightarrow \frac{A^{'}}{E} = \frac{A}{B}; \frac{C^{'}}{E} = \frac{C}{D}$ .

Vì có vô số đa thức $M \neq 0$ nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phân thức đã cho.

Bài 2.1 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Hãy điền vào chỗ trống một đa thức thích hợp để được đẳng thức:

a) $\frac{x + 5}{3 x - 2} = \frac{. . .}{x (3 x - 2)}$

b) $\frac{2 x - 1}{4} = \frac{(2 x - 1) . . .}{8 x + 4}$

c) $\frac{2 x . (. . .)}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{2 x}{x - 2}$

d) $\frac{5 x^{2} + 10 x}{(x - 2) . . .} = \frac{5 x}{x - 2}$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x + 5}{3 x - 2}$ với $x$ , ta được:

$\frac{x + 5}{3 x - 2} = \frac{x (x + 5)}{x (3 x - 2)}$

b) Ta có: $8 x + 4 = 4. (2 x + 1)$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x - 1}{4}$ với $2 x + 1$ , ta được:

$\frac{2 x - 1}{4} = \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{4 (2 x + 1)}$ $= \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{8 x + 4}$

c) $\frac{2 x (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{2 x (x - 2)}{x^{2} - 2. x .2 + 2^{2}}$

$= \frac{2 x (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2 x (x - 2) : (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} : (x - 2)}$ $= \frac{2 x}{x - 2}$

d) $\frac{5 x^{2} + 10 x}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{5 x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{5 x (x + 2) : (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) : (x + 2)} = \frac{5 x}{x - 2}$

Bài 2.2 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là $x^{2} - 9$

$\frac{3 x}{x + 3}$ ; $\frac{x - 1}{x - 3}$ ; $x^{2} + 9$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

Ta có $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$

$\frac{3 x}{x + 3} = \frac{3 x (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ $= \frac{3 x^{2} - 9 x}{x^{2} - 9}$

$\frac{x - 1}{x - 3} = \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

$x^{2} + 9 = \frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} - 9}$ $= \frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 9}$

Bài 2.3 Trang 25 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân thức sau bằng nhau:

a) $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 6}$ và $\frac{2 x^{2} + x - 1}{6 x - 3}$

b) $\frac{15 x - 10}{3 x^{2} + 3 x - (2 x + 2)}$ và $\frac{5 x^{2} - 5 x + 5}{x^{3} + 1}$

Phương pháp giải:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ )

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Lời giải:

a) $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 6}$

$= \frac{x^{2} + x + 2 x + 2}{3 (x + 2)}$

$= \frac{x (x + 1) + 2 (x + 1)}{3 (x + 2)}$

$= \frac{(x + 1) (x + 2)}{3 (x + 2)} = \frac{x + 1}{3}$

$\frac{2 x^{2} + x - 1}{6 x - 3}$

$= \frac{2 x^{2} + 2 x - x - 1}{3 (2 x - 1)}$

$= \frac{2 x (x + 1) - (x + 1)}{3 (2 x - 1)}$

$= \frac{(x + 1) (2 x - 1)}{3 (2 x - 1)} = \frac{x + 1}{3}$

Vậy $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{3 x + 6} = \frac{2 x^{2} + x - 1}{6 x - 3}$

b) $\frac{15 x - 10}{3 x^{2} + 3 x - (2 x + 2)}$

$= \frac{5 (3 x - 2)}{3 x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

$= \frac{5 (3 x - 2)}{(x + 1) (3 x - 2)} = \frac{5}{x + 1}$

$\frac{5 x^{2} - 5 x + 5}{x^{3} + 1}$ $= \frac{5 (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ $= \frac{5}{x + 1}$

Vậy $\frac{15 x - 10}{3 x^{2} + 3 x - (2 x + 2)}$

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

298

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

319

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

347

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

295